পাঠ ২ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.৪, ২.৬

ভেক্টর যোগের জ্যামিতিক সূত্র: ত্রিভুজ, বহুভুজ ও বিনিময়-সংযোজনHead-to-tail addition: triangle & polygon laws, commutative & associative laws

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ১ — স্কেলার ও ভেক্টর রাশি, ভেক্টরের প্রকাশ ও বিশেষ ভেক্টর

একটি গুপ্তধনের মানচিত্রে (treasure map) লেখা: “3 ধাপ পূর্বে, 4 ধাপ উত্তরে, 2 ধাপ পশ্চিমে।” কার্ডগুলো যেকোনো ক্রমে চাপো — প্রতিটি ধাপ শুরু হবে আগের ধাপ যেখানে শেষ, সেখান থেকে। কয়েকটি আলাদা ক্রমে চেষ্টা করো:

কার্ডগুলো যেকোনো ক্রমে চাপো — প্রতিটি ধাপ শুরু হবে আগের ধাপ যেখানে শেষ, সেখান থেকে।

মোট হাঁটা হলো 3 + 4 + 2 = 9 ধাপ, অথচ গুপ্তধন শুরু থেকে মাত্র √17 ≈ 4.12 ধাপ দূরে। আর ক্রম যা-ই হোক, শেষ বিন্দু একই। ক্রম বদলালে শেষ বিন্দু কেন একই? আর সংখ্যার মতো যোগ করলে উত্তর মেলে না কেন? এই পাঠে ধাপে ধাপে উত্তর খুঁজব:

ভেক্টর কেন সংখ্যার মতো যোগ হয় না
মাথা-লেজ পদ্ধতি (head-to-tail method)
ত্রিভুজ সূত্র (triangle law of vectors)
বহুভুজ সূত্র (polygon law of vectors)
বিনিময় (commutative) ও সংযোজন (associative) সূত্র
বণ্টন সূত্র (distributive law)
বন্ধ বহুভুজ আর সাম্যাবস্থা (equilibrium)
এবার নিজে করে দেখো — মাথা-লেজ যোগের গবেষণাগার

ধাপ ১: ভেক্টর কেন সংখ্যার মতো যোগ হয় না

আগের পাঠে দেখেছ, ভেক্টর রাশির (vector quantity) মান (magnitude) আর দিক (direction) দুটোই আছে, আর একে তীর (arrow) দিয়ে আঁকা হয়: তীরের দৈর্ঘ্য মান, তীরের মুখ দিক। স্কেলার রাশি (scalar quantity) — ভর, সময়, তাপমাত্রা — শুধু সংখ্যা, তাই 2 kg + 3 kg = 5 kg।

ভেক্টরে সেটি খাটে না। বইয়ের উদাহরণটি ধরো: একটি নৌকা নদীর আড়াআড়ি (across) 8 km/h বেগে বাওয়া হচ্ছে, আর স্রোতের (current) বেগ 6 km/h। নৌকার আসল বেগ কি 8 + 6 = 14 km/h? না! দুটি বেগ পরস্পর লম্ব, তাই তীর দুটি মাথা-লেজ জুড়লে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়:

|\vec{R}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{km/h}, \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{6}{8} = 36.87^\circ

এখানে θ মাপা হয়েছে বাওয়ার দিক থেকে, স্রোতের দিকে। লব্ধি (resultant) মানে কয়েকটি ভেক্টরের মিলিত ফল — যে একটিমাত্র ভেক্টর তাদের সবার কাজ একাই করে। লব্ধির মান 14 নয়, 10; আর দিকও কোনোটির সাথে মেলে না। শুধু দুটি ভেক্টর একই দিকে হলে মান সরাসরি যোগ হয় (8 + 6 = 14), আর বিপরীত দিকে হলে বিয়োগ (8 − 6 = 2)।

নিজে যাচাই করো

3 N আর 4 N মানের দুটি বলের লব্ধি নিচের কোনটি কখনোই হতে পারে না?

ধাপ ২: মাথা-লেজ পদ্ধতি

ভেক্টর যোগের মূল কৌশল একটিই — মাথা-লেজ পদ্ধতি (head-to-tail method)। বই একে ভেক্টর যোগের “সাধারণ সূত্র” (general law) বলে:

প্রথম ভেক্টরটি আঁকো।
দ্বিতীয় ভেক্টরটিকে মান আর দিক না বদলে সরিয়ে আনো, যাতে তার লেজ (tail) প্রথমটির মাথায় (head) বসে। ভেক্টর সমান্তরালে সরালে বদলায় না — মান আর দিক একই থাকে।
এভাবে একের পর এক জুড়তে থাকো। প্রথমটির লেজ থেকে শেষটির মাথা পর্যন্ত টানা তীরটিই লব্ধি।

গুপ্তধনের খেলায় ঠিক এটাই করেছ: প্রতিটি ধাপ আগের ধাপের শেষ বিন্দু থেকে শুরু হয়েছে, আর শুরু থেকে গুপ্তধন পর্যন্ত সোজা তীরটি হলো লব্ধি সরণ (resultant displacement)।

একটি শর্ত মনে রাখো: শুধু একই জাতের ভেক্টর (like vectors) যোগ করা যায় — সরণের সাথে সরণ, বলের সাথে বল। 3 m সরণ আর 5 N বল যোগ করার কোনো অর্থ নেই, ঠিক যেমন 3 kg + 5 s অর্থহীন।

নিজে যাচাই করো

মাথা-লেজ পদ্ধতিতে লব্ধি কোথা থেকে কোথা পর্যন্ত আঁকা হয়?

ধাপ ৩: ত্রিভুজ সূত্র

দুটি ভেক্টরের জন্য মাথা-লেজ পদ্ধতিই হলো ত্রিভুজ সূত্র (triangle law of vectors):

কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহু একই ক্রমে (in order) নিলে যদি দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করে, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীত ক্রমে (in reverse order) তাদের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে।

চিত্রে $\vec{P}$ -এর মাথায় $\vec{Q}$ -এর লেজ, তাই

\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}

বাঁয়ে ত্রিভুজ সূত্র (triangle law): P-এর মাথায় Q-এর লেজ; P-এর লেজ থেকে Q-এর মাথা পর্যন্ত বাহুটিই R। ডানে: একই ক্রমে ঘুরে আসা তিন বাহুর যোগফল শূন্য ভেক্টর (null vector)।

এখান থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ ফল: ত্রিভুজ ABC-এর তিন বাহু একই ক্রমে (A → B → C → A) ঘুরে এলে আমরা যেখান থেকে শুরু করেছিলাম সেখানেই ফিরি, তাই মোট সরণ শূন্য:

\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}, \qquad \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0} \quad\Rightarrow\quad \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}

এখানে $\vec{CA} = -\vec{AC}$ — একই মান, উল্টো দিক।

নিজে যাচাই করো

ত্রিভুজ PQR-এর বাহুগুলো দিয়ে নিচের কোন যোগফলটি শূন্য ভেক্টর?

ধাপ ৪: বহুভুজ সূত্র

দুইয়ের বেশি ভেক্টর হলে একই কাজ বারবার করো — এটিই বহুভুজ সূত্র (polygon law of vectors):

কয়েকটি ভেক্টরকে মান ও দিক ঠিক রেখে একের পর এক মাথা-লেজ জুড়লে একটি খোলা বহুভুজ (polygon) হয়। প্রথম ভেক্টরের লেজ থেকে শেষ ভেক্টরের মাথা পর্যন্ত বহুভুজের বন্ধকারী বাহুটি (closing side) — বিপরীত ক্রমে — তাদের লব্ধি।

\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E}

বহুভুজ সূত্র (polygon law): যত ভেক্টরই হোক, একের পর এক মাথা-লেজ জোড়ো। প্রথমটির লেজ থেকে শেষটির মাথা — বহুভুজের বন্ধকারী বাহুটি (closing side) উল্টো ক্রমে — লব্ধি R।

বহুভুজ সূত্র নতুন কিছু নয় — এটি ত্রিভুজ সূত্র বারবার প্রয়োগ: প্রথমে $\vec{A} + \vec{B}$ , তার সাথে $\vec{C}$ , এভাবে। গুপ্তধনের তিন ধাপ ছিল তিন বাহুর একটি খোলা বহুভুজ; লব্ধি $(3 - 2)\,\hat{i} + 4\,\hat{j} = \hat{i} + 4\hat{j}$ , যার মান $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17} \approx 4.12$ ধাপ। এখানে $\hat{i}$ পূর্ব দিকের আর $\hat{j}$ উত্তর দিকের একক ভেক্টর (unit vector)।

নিজে যাচাই করো

একজন লোক 5 m পূর্বে, তারপর 12 m উত্তরে, তারপর 5 m পশ্চিমে হাঁটল। তার লব্ধি সরণ কত?

ধাপ ৫: বিনিময় ও সংযোজন সূত্র

গুপ্তধনের খেলায় দেখেছ ক্রম বদলালেও শেষ বিন্দু একই। নিচে চারটি ভেক্টর A, B, C, D আছে — বারবার ক্রম এলোমেলো করো আর হলুদ লব্ধি R লক্ষ করো। তারপর “প্রথম দুটি জোড়া দেখাও” চালু করো:

R = A + B + C + D · |R| = 7.07 একক, পূর্ব থেকে 45.0° — বদলায়নি।

24টি সম্ভাব্য ক্রমের 1টি দেখেছ।

বিনিময় সূত্র (commutative law): দুটি ভেক্টর যেকোনো ক্রমে যোগ করা যায়।

\vec{P} + \vec{Q} = \vec{Q} + \vec{P}

প্রমাণ: সামান্তরিক OACB আঁকো, যেখানে $\vec{OA} = \vec{BC} = \vec{P}$ আর $\vec{AC} = \vec{OB} = \vec{Q}$ (সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল)। ত্রিভুজ OAC থেকে $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{P} + \vec{Q}$ ; ত্রিভুজ OBC থেকে $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{Q} + \vec{P}$ । দুটিই একই কর্ণ $\vec{OC}$ , তাই $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{Q} + \vec{P}$ — মান ও দিক দুটোই সমান।

বিনিময় সূত্র (commutative law): নিচ দিয়ে গেলে P + Q, ওপর দিয়ে গেলে Q + P — দুই পথেই একই কর্ণ OC। মান আর দিক দুটোই এক।

সংযোজন সূত্র (associative law): তিন বা বেশি ভেক্টর যোগে যেকোনো দুটিকে আগে জুড়ে নেওয়া যায়।

(\vec{P} + \vec{Q}) + \vec{R} = \vec{P} + (\vec{Q} + \vec{R})

প্রমাণ: $\vec{OA} = \vec{P}$ , $\vec{AB} = \vec{Q}$ , $\vec{BC} = \vec{R}$ মাথা-লেজ আঁকো। তাহলে $\vec{OB} = \vec{P} + \vec{Q}$ আর $\vec{AC} = \vec{Q} + \vec{R}$ । এখন $(\vec{P} + \vec{Q}) + \vec{R} = \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC}$ এবং $\vec{P} + (\vec{Q} + \vec{R}) = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{OC}$ । দুই দিকেই $\vec{OC}$ ।

সংযোজন সূত্র (associative law): আগে P + Q জুড়ে তারপর R, অথবা আগে Q + R জুড়ে তারপর P — লাল লব্ধি একটাই।

এই দুই সূত্র একসাথে বলে: অনেকগুলো ভেক্টর যেকোনো ক্রমে, যেকোনো দলে যোগ করলেও লব্ধি একই। গুপ্তধনের 6টি ক্রম আর ওপরের 24টি ক্রম সব একই জায়গায় শেষ হয় সেজন্যই।

নিজে যাচাই করো

বিনিময় সূত্র P + Q = Q + P আসলে কী বলে?

ধাপ ৬: বণ্টন সূত্র

কোনো ভেক্টরকে স্কেলার m দিয়ে গুণ করলে মান m গুণ হয়, আর দিক একই থাকে (m ঋণাত্মক হলে দিক উল্টে যায়)। বণ্টন সূত্র (distributive law):

m(\vec{P} + \vec{Q}) = m\vec{P} + m\vec{Q}

প্রমাণ: $\vec{OA} = \vec{P}$ , $\vec{AB} = \vec{Q}$ , তাই $\vec{OB} = \vec{P} + \vec{Q}$ । এবার OA-কে বাড়িয়ে $\vec{OA'} = m\vec{P}$ নাও, আর A’ থেকে AB-এর সমান্তরালে $\vec{A'B'} = m\vec{Q}$ আঁকো। ত্রিভুজ OAB আর OA’B’ সদৃশ (similar) — দুই বাহু m অনুপাতে আর তাদের মাঝের কোণ সমান। তাই B’ বিন্দু OB রেখার ওপরেই, আর $\vec{OB'} = m\,\vec{OB}$ । অর্থাৎ $m\vec{P} + m\vec{Q} = \vec{OB'} = m(\vec{P} + \vec{Q})$ ।

বণ্টন সূত্র (distributive law): প্রতিটি বাহু m গুণ করলে সদৃশ ত্রিভুজ (similar triangle) হয়, তাই লব্ধিও m গুণ হয় — দিক বদলায় না।

নিজে যাচাই করো

m(P + Q) = mP + mQ কোন সূত্র?

ধাপ ৭: বন্ধ বহুভুজ আর সাম্যাবস্থা

ত্রিভুজের বাহু একই ক্রমে নিলে যোগফল শূন্য — বহুভুজের ক্ষেত্রেও তাই। কোনো বস্তুর ওপর কয়েকটি বল (force) ক্রিয়া করছে, আর বলগুলো মাথা-লেজ সাজালে বহুভুজটি বন্ধ হয় (শেষ মাথা প্রথম লেজে ফেরে) — তাহলে লব্ধি বল শূন্য, আর বস্তুটি সাম্যাবস্থায় (equilibrium) থাকে:

\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots + \vec{F}_n = \vec{0}

দড়ি টানাটানিতে (tug-of-war) দুই দল সমান বলে বিপরীত দিকে টানলে দড়ি নড়ে না — দুই বাহুর “বহুভুজ”, যোগফল শূন্য। নিচে তিনটি বল দেওয়া আছে; চতুর্থ বল $\vec{F}_4$ -এর মাথার বৃত্তটি টেনে (বা তীর বোতামে) এমন জায়গায় আনো যাতে বহুভুজ বন্ধ হয়:

F₄ সরাও:সাম্যাবস্থা নয়

F₄2.24 N, 243.4°

লব্ধি |R| (resultant)3.61 N

বৃত্তটি (F₄-এর মাথা) টেনে বা তীর বোতাম দিয়ে সরাও। কোণ মাপা হচ্ছে পূর্ব (+x) দিক থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে। ঘরের মাপ 1 N।

বহুভুজ বন্ধ হলো $\vec{F}_4 = -3\hat{i} - 5\hat{j}$ হলে, যার মান $\sqrt{34} \approx 5.83$ N। লক্ষ করো, $\vec{F}_4$ বাকি তিনটির লব্ধির সমান ও বিপরীত: $\vec{F}_4 = -(\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3)$ । একে বলে সাম্যকারী বল (equilibrant)।

নিজে যাচাই করো

5 N মানের তিনটি বল একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করছে, পরস্পরের মধ্যে 120° কোণে। লব্ধি কত?

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

এখন তুমি নিজেই শিকল বানাবে। নিচের গবেষণাগারে:

A, B, … বোতাম দিয়ে একটি ভেক্টর বেছে নাও; স্লাইডারে তার মান (magnitude) আর দিক (direction) ঠিক করো, অথবা তীরের মাথার বৃত্তটি টেনে আনো। দিক মাপা হয় পূর্ব (+x) থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে; পাশে উত্তর থেকে কোণও (bearing) দেখাবে।
＋ যোগ চেপে 6টি পর্যন্ত ভেক্টর জোড়ো। হলুদ তীর R সবসময় প্রথম লেজ থেকে শেষ মাথা পর্যন্ত — তার মান আর কোণ উপাংশ (components) থেকে হিসাব করা।
ক্রম উল্টাও, সব ×2, আর স্কেল বোতাম দিয়ে সূত্রগুলো যাচাই করো; প্রতিটি পরীক্ষা খাতায় লেখো।

মাথা-লেজ যোগের গবেষণাগার

Head-to-tail vector addition lab

↗

A-এর মান (magnitude): 4.1 এককA-এর দিক (direction), পূর্ব থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে: 14.0°

লব্ধি |R| (resultant)6.40 একক

পূর্ব থেকে কোণ38.7°

উত্তর থেকে (bearing)51.3°

উপাংশ (Rx, Ry)(5.00, 4.00)

স্কেল (scale):

তীরের মাথার বৃত্ত টেনে আনলে মাথাটি গ্রিডে বসে যায় (½ ঘর ধাপে)। স্লাইডারে সূক্ষ্ম মান দাও।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

4 km উত্তর (north) + 10 km পূর্ব (east) বানাও (1 একক = 1 km)। লব্ধির মান আর উত্তর থেকে কোণ পড়ো।
তিনটি বল (force) বানাও যারা একটি আংটাকে (ring) সাম্যাবস্থায় রাখবে: |R| ≈ 0।
অন্তত দুটি ভেক্টর নিয়ে “ক্রম উল্টাও” চাপো — P + Q = Q + P কি না দেখো।
5টি ভেক্টর বানাও যাদের যোগফল শূন্য।
অন্তত দুটি ভেক্টর নিয়ে “সব ×2” চাপো: 2(P + Q) = 2P + 2Q?
“অসম্পূর্ণ শিকল” চাপো: A, B, C দেওয়া আছে — D এমনভাবে ঠিক করো যাতে শিকল বন্ধ হয়।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

শিকল বানিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো — প্রতিটি পরীক্ষার লব্ধি এখানে জমা হবে।

বই পড়ার সময় সাবধান — এই অংশে বইয়ে বড় ভুল কম, তবে দুটি জিনিস খেয়াল রাখো:

অধ্যায়ের সারসংক্ষেপে (summary) বিনিময় সূত্রকে বলা হয়েছে “যোগফলের মান অপরিবর্তিত থাকে”। এটি অর্ধেক কথা। আসলে $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{Q} + \vec{P}$ ভেক্টর হিসেবে সত্য — লব্ধির মান এবং দিক দুটোই এক। শুধু মান মিললে দুটি ভেক্টর সমান হয় না।
“ভেক্টর যোগের পাঁচটি সূত্র” (সাধারণ সূত্র, ত্রিভুজ, সামান্তরিক, বহুভুজ, উপাংশ সূত্র) বইয়ের ও বোর্ডের নিজস্ব তালিকা — পরীক্ষায় এভাবেই লেখো। তবে পাঠ্যপুস্তকের বাইরে “সাধারণ সূত্র”কে সাধারণত শুধু মাথা-লেজ পদ্ধতি (head-to-tail method) বলা হয়, আর উপাংশ সূত্র আসলে ভেক্টরকে উপাংশে ভেঙে যোগ করার পদ্ধতি।
একইভাবে বণ্টন সূত্র কঠোর অর্থে স্কেলার দিয়ে গুণের নিয়ম; বোর্ড একে যোগের সূত্রের তালিকায় রাখে, তাই MCQ-তে “বণ্টন সূত্র” দাগাও।

ঘরে বসে পরীক্ষা: সুতোর বহুভুজ

তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকলে তারা সত্যিই বন্ধ ত্রিভুজ বানায় কি না, নিজে যাচাই করো।

একটি ছোট আংটা (key ring বা চুড়ি) নাও, তাতে তিনটি সুতো বাঁধো।
টেবিলে একটি বড় কাগজ রাখো, আংটাটি তার ওপরে। দুই বন্ধু দুটি সুতো আর তুমি তৃতীয়টি টানো (অথবা দুটি সুতো চেয়ারের পায়ায় বেঁধে নাও), যাতে আংটাটি স্থির হয়ে যায়।
আংটা স্থির থাকা অবস্থায় কাগজে প্রতিটি সুতোর দিক বরাবর রেখা টানো।
প্রতিটি সুতোর টান আন্দাজ করো — সবচেয়ে সহজ হলো তিনজনে সমান জোরে টানা, অথবা সুতোর মাথায় সমান ওজনের পানির বোতল ঝুলিয়ে টেবিলের কিনারা দিয়ে নামিয়ে দেওয়া।
এবার অন্য একটি কাগজে তিনটি রেখার দিকে সমান (বা টানের অনুপাতে) দৈর্ঘ্যের তীর মাথা-লেজ আঁকো। দেখবে, তীরগুলো প্রায় একটি বন্ধ ত্রিভুজ বানায় — সমান টান হলে সুতোগুলোর মাঝের কোণ প্রায় 120°।

নিরাপত্তা: রাবার ব্যান্ড বা ইলাস্টিক ব্যবহার করলে টেনে হঠাৎ ছেড়ে দিও না — ছিটকে চোখে লাগতে পারে। সুতো আঙুলে পেঁচিয়ে খুব জোরে টানবে না।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র ও বহুভুজ সূত্র বিবৃত করো ও ব্যাখ্যা করো। (জ্ঞান/অনুধাবন)

ত্রিভুজ সূত্র: কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহু একই ক্রমে নিলে যদি দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করে, তবে তৃতীয় বাহুটি বিপরীত ক্রমে তাদের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে। $\vec{OA} = \vec{P}$ , $\vec{AB} = \vec{Q}$ হলে $\vec{OB} = \vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ ।

বহুভুজ সূত্র: কয়েকটি ভেক্টরকে একটি বহুভুজের বাহু হিসেবে একই ক্রমে (মাথা-লেজ) সাজালে, বহুভুজের বন্ধকারী বাহুটি বিপরীত ক্রমে তাদের লব্ধি নির্দেশ করে। $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \cdots$ — প্রথম ভেক্টরের লেজ থেকে শেষ ভেক্টরের মাথা পর্যন্ত।

২. এক ব্যক্তি 4 km উত্তরে এবং পরে 10 km পূর্বে গেল। তার লব্ধি সরণ ও তার দিক নির্ণয় করো। (CKRUET 2021-22 ধরনের)

দুটি সরণ পরস্পর লম্ব, তাই

R = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{116} = 10.77\ \text{km}

উত্তর দিকের সাথে কোণ θ হলে $\tan\theta = \dfrac{10}{4} = 2.5$ , তাই $\theta = \tan^{-1}(2.5) = 68.2^\circ$ ।

উত্তর: 10.77 km, উত্তর দিক থেকে পূর্ব দিকে 68.2° কোণে (অর্থাৎ পূর্ব দিক থেকে 21.8° উত্তরে)। সিমুলেশনের প্রথম চ্যালেঞ্জে এটি মিলিয়ে দেখো।

৩. প্রমাণ করো যে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু একই ক্রমে নিলে তাদের নির্দেশিত ভেক্টরগুলোর যোগফল শূন্য। (প্রয়োগ)

ত্রিভুজ ABC-তে ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ ।

উভয় পাশে $\vec{CA}$ যোগ করে: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA}$ ।

কিন্তু $\vec{CA} = -\vec{AC}$ (একই মান, বিপরীত দিক), তাই $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$ ।

\therefore\ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}

ভৌত অর্থ: তিনটি সমতলীয় বল এভাবে বন্ধ ত্রিভুজ বানালে বস্তুটি সাম্যাবস্থায় থাকে।

৪. MCQ: m(A + B) = mA + mB — এটি কোন সূত্র? (ক) বিনিময় (খ) সংযোজন (গ) বণ্টন (ঘ) ত্রিভুজ

(গ) বণ্টন সূত্র (distributive law)। স্কেলার m যোগফলের প্রতিটি পদে বণ্টিত হয়। ভেক্টরের দিক বদলায় না (m > 0 হলে), শুধু মান m গুণ হয় — সদৃশ ত্রিভুজ দিয়ে প্রমাণ (ধাপ ৬)।

৫. জ্যামিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ করো: P + Q = Q + P এবং (P + Q) + R = P + (Q + R)। (উচ্চতর দক্ষতা)

বিনিময় সূত্র: সামান্তরিক OACB আঁকো যাতে $\vec{OA} = \vec{BC} = \vec{P}$ , $\vec{OB} = \vec{AC} = \vec{Q}$ । ত্রিভুজ OAC: $\vec{OC} = \vec{P} + \vec{Q}$ ; ত্রিভুজ OBC: $\vec{OC} = \vec{Q} + \vec{P}$ । $\therefore \vec{P} + \vec{Q} = \vec{Q} + \vec{P}$ ।

সংযোজন সূত্র: $\vec{OA} = \vec{P}$ , $\vec{AB} = \vec{Q}$ , $\vec{BC} = \vec{R}$ নাও। $\vec{OB} = \vec{P} + \vec{Q}$ , $\vec{AC} = \vec{Q} + \vec{R}$ । ত্রিভুজ OBC: $(\vec{P} + \vec{Q}) + \vec{R} = \vec{OC}$ ; ত্রিভুজ OAC: $\vec{P} + (\vec{Q} + \vec{R}) = \vec{OC}$ । $\therefore (\vec{P} + \vec{Q}) + \vec{R} = \vec{P} + (\vec{Q} + \vec{R})$ ।

৬. একটি বস্তুর ওপর 3 N পূর্বমুখী, 4 N উত্তরমুখী আর 6 N পশ্চিমমুখী বল ক্রিয়া করছে। বস্তুটিকে সাম্যাবস্থায় রাখতে চতুর্থ বলটি কত হবে? (প্রয়োগ)

পূর্বকে $\hat{i}$ , উত্তরকে $\hat{j}$ ধরে তিন বলের লব্ধি:

\vec{R} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 6\hat{i} = -3\hat{i} + 4\hat{j}

সাম্যাবস্থায় বহুভুজ বন্ধ হতে হবে, তাই $\vec{F}_4 = -\vec{R} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$ ।

|\vec{F}_4| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{N}, \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{4}{3} = 53.13^\circ

উত্তর: 5 N, পূর্ব দিক থেকে 53.13° দক্ষিণে।