পাঠ ৪ / ১১অনুচ্ছেদ ২.২, ২.২.১–২.২.৩, ২.৩, ২.৩.১

কোয়ান্টাম সংখ্যা ও অরবিটালQuantum numbers & orbital shapes (3D)

বোরের মডেলে (Bohr model) ইলেকট্রন (electron) নিউক্লিয়াসের (nucleus) চারদিকে একটি নির্দিষ্ট বৃত্তাকার কক্ষপথে (orbit) ঘোরে। চলো পরীক্ষা করে দেখি। নিচের হাইড্রোজেন (hydrogen) পরমাণুটির (atom) ইলেকট্রনকে বারবার “খুঁজে” দেখো — প্রতিবার সে কোথায় ধরা পড়ে, তা একটি বিন্দু দিয়ে চিহ্নিত হবে।

এখানে প্রতিটি বিন্দু আসল কোয়ান্টাম বলবিদ্যার (quantum mechanics) সম্ভাবনা (probability) |ψ|² থেকে নেওয়া — বাস্তবে একটি পরমাণুকে বারবার মাপলে ঠিক এমনই পাওয়া যেত।

ইলেকট্রন যদি সত্যিই বোরের বৃত্তে ঘুরত, সব বিন্দু একটি রিংয়ের ওপর পড়ত। তা হলো না কেন? আর ইলেকট্রনের ঠিকানা যদি একটি “মেঘ” (cloud) হয়, তাহলে অরবিটাল (orbital) আসলে কী?

এই পাঠে ধাপে ধাপে এর উত্তর খুঁজব:

1. ইলেকট্রন কণা (particle), আবার তরঙ্গও (wave) — দ্য ব্রগলি সমীকরণ (de Broglie equation)
2. হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি (Heisenberg’s uncertainty principle)
3. শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ (Schrödinger equation): ψ আর ψ²
4. অরবিট বনাম অরবিটাল (orbit vs orbital)
5. চারটি কোয়ান্টাম সংখ্যা (quantum numbers)
6. নোড (node) — যেখানে ইলেকট্রন কখনো থাকে না
7. অরবিটালের আকৃতি (orbital shapes): s, p, d, f
8. এবার নিজে করে দেখো — 3D সিমুলেশন (simulation)

ধাপ ১: ইলেকট্রন কণা, আবার তরঙ্গও

আলো একই সঙ্গে তরঙ্গ (wave) আর কণা (particle, ফোটন (photon)) — এটা আগের পাঠে দেখেছি। ১৯২৪ সালে লুই দ্য ব্রগলি (Louis de Broglie) উল্টো প্রশ্ন করলেন: চলমান কণাও কি তরঙ্গের মতো আচরণ করে? তাঁর উত্তর — হ্যাঁ। ফোটনের ভরবেগ (momentum) $p = \dfrac{h}{\lambda}$; একই সম্পর্ক যেকোনো কণার জন্য খাটে, যার ভর (mass) $m$ ও বেগ (velocity) $v$:

এটিই দ্য ব্রগলি সমীকরণ। এখানে $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J s প্ল্যাংকের ধ্রুবক (Planck’s constant)। ভর যত বেশি, তরঙ্গদৈর্ঘ্য (wavelength) তত ছোট:

ইলেকট্রনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য পরমাণুর মাপের সমান — তাই পরমাণুর ভেতরে এর তরঙ্গ-ধর্ম (wave nature) খুবই গুরুত্বপূর্ণ। বলের তরঙ্গদৈর্ঘ্য এত ছোট যে কোনো যন্ত্রে কখনো ধরা পড়বে না। ইলেকট্রনের তরঙ্গ-ধর্ম কাজে লাগিয়েই তৈরি হয়েছে ইলেকট্রন অণুবীক্ষণ যন্ত্র (electron microscope)।

কক্ষপথে তরঙ্গ। ইলেকট্রন যদি তরঙ্গ হয়, তবে একটি বৃত্তাকার পথে টিকে থাকতে হলে এক পাক ঘুরে এসে তরঙ্গটিকে নিজের সঙ্গে হুবহু মিলতে হবে — অর্থাৎ পরিধিতে (circumference) পূর্ণসংখ্যক (whole number) তরঙ্গদৈর্ঘ্য থাকতে হবে। নিচে নিজে চেষ্টা করো:

শর্তটি হলো $2\pi r = n\lambda$। এতে $\lambda = \dfrac{h}{mv}$ বসালে পাই $mvr = \dfrac{nh}{2\pi}$ — বোরের কৌণিক ভরবেগের শর্ত (angular momentum condition)! বোর যেটা ধরে নিয়েছিলেন, দ্য ব্রগলির তরঙ্গ সেটার কারণ ব্যাখ্যা করে। মজার ব্যাপার: ১ম কক্ষপথের পরিধি $2\pi \times 52.9$ pm = 332 pm — ঠিক একটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য।

ধাপ ২: হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি

একটি ইলেকট্রনকে “দেখতে” হলে তার ওপর আলো ফেলতে হয়। কিন্তু ফোটন ইলেকট্রনকে ধাক্কা দেয়, তার বেগ বদলে যায়। অবস্থান (position) যত নিখুঁতভাবে মাপতে চাও, তত ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্যের (বেশি শক্তির, higher energy) আলো লাগে, আর ধাক্কাও তত জোরালো হয়। ১৯২৭ সালে হাইজেনবার্গ (Werner Heisenberg) দেখান, এটা যন্ত্রের দুর্বলতা নয় — প্রকৃতির নিয়ম:

একই সময়ে কোনো কণার অবস্থান (position) আর ভরবেগ (momentum) দুটোই নিখুঁতভাবে জানা সম্ভব নয়।

এখানে $\Delta x$ অবস্থানের অনিশ্চয়তা (uncertainty), $\Delta p$ ভরবেগের অনিশ্চয়তা। একটি ছোট করলে অন্যটি বড় হতে বাধ্য। স্লাইডার সরিয়ে দেখো:

ইলেকট্রনের অবস্থান যদি শুধু পরমাণুর মাপে ($\Delta x = 52.9$ pm) জানতে চাই, তবুও $\Delta v \geq 1.09 \times 10^{6}$ m/s — ইলেকট্রনের নিজের বেগের অর্ধেক! বোরের কক্ষপথ মানে প্রতি মুহূর্তে ইলেকট্রনের অবস্থান ($r$) আর বেগ ($v$) দুটোই ঠিকঠাক জানা — অনিশ্চয়তা নীতি সেটা অসম্ভব বলে দেয়। তাই ইলেকট্রন সম্পর্কে আমরা শুধু বলতে পারি কোথায় তাকে পাওয়ার সম্ভাবনা (probability) কত — ঠিক যা শুরুর পরীক্ষায় দেখেছ। ক্রিকেট বলের ক্ষেত্রে অনিশ্চয়তা এত ছোট যে বড় বস্তুর বেলায় এই নীতি চোখে পড়ে না।

ধাপ ৩: শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ — ψ আর ψ²

ইলেকট্রন যদি তরঙ্গ হয়, তবে তার একটি তরঙ্গ-সমীকরণ (wave equation) থাকা উচিত। ১৯২৬ সালে শ্রোডিঙ্গার (Erwin Schrödinger) সেটি লেখেন। আমাদের এটা সমাধান করতে হবে না, কিন্তু এর মানে জানতে হবে:

• $\psi$ (সাই, psi) — তরঙ্গ-অপেক্ষক (wave function): প্রতিটি বিন্দু (x, y, z)-তে ইলেকট্রন-তরঙ্গের বিস্তার (amplitude)।
• $m$ ইলেকট্রনের ভর, $E$ মোট শক্তি (total energy), $V$ স্থিতিশক্তি (potential energy)।
• নিউক্লিয়াস আর ইলেকট্রন পরস্পরকে আকর্ষণ (attract) করে, তাই স্থিতিশক্তি ঋণাত্মক (negative): $V = -\dfrac{Ze^2}{r}$ (CGS এককে; SI এককে $V = -\dfrac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$)।

সমীকরণটির গ্রহণযোগ্য সমাধান পাওয়া যায় শুধু কিছু নির্দিষ্ট শক্তির জন্য — এদের বলে আইগেন মান (eigenvalue)। হাইড্রোজেনে এগুলো ঠিক বোরের মান $E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}$ eV। অর্থাৎ শক্তির কোয়ান্টায়ন (quantization) এখানে ধরে নিতে হয় না, গণিত থেকেই বেরিয়ে আসে। প্রতিটি সমাধান $\psi$ (আইগেন ফাংশন, eigenfunction) একটি অরবিটাল, আর তাকে চিহ্নিত করতে তিনটি সংখ্যা লাগে — n, l, m। এগুলোই কোয়ান্টাম সংখ্যা।

ψ আর ψ²-এর পার্থক্য। $\psi$ নিজে ধনাত্মক (positive) বা ঋণাত্মক হতে পারে; এর সরাসরি কোনো ভৌত অর্থ নেই। কিন্তু $\psi^2$ (সঠিকভাবে $|\psi|^2$) হলো সম্ভাবনা ঘনত্ব (probability density) — কোনো বিন্দুর চারপাশে প্রতি একক আয়তনে (per unit volume) ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা। $\psi^2$ সবসময় ধনাত্মক।

শুরুর পরীক্ষায় একটি অদ্ভুত জিনিস দেখেছিলে: বিন্দুগুলো নিউক্লিয়াসের কাছেই সবচেয়ে ঘন, অথচ সবচেয়ে বেশিবার ইলেকট্রন পাওয়া গেছে 52.9 pm দূরত্বে। কেন? নিউক্লিয়াস থেকে $r$ দূরত্বে একটি পাতলা গোলকীয় খোলের (spherical shell) আয়তন $4\pi r^2\,dr$ — নিউক্লিয়াসের কাছে খোলটি খুব ছোট, দূরে বড়। তাই কোনো দূরত্বে ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা $4\pi r^2 \psi^2$, যাকে বলে রেডিয়াল সম্ভাবনা (radial probability):

ইলেকট্রন-মেঘের কোনো ধারালো সীমানা নেই — অনেক দূরেও খুব সামান্য সম্ভাবনা থাকে। তাই রসায়নে অরবিটাল বলতে বোঝানো হয় নিউক্লিয়াসের চারদিকে সেই ত্রিমাত্রিক অঞ্চল (three-dimensional region), যার ভেতরে নির্দিষ্ট শক্তির ইলেকট্রনকে পাওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 90–95%। হাইড্রোজেনের 1s অরবিটালের ৯০% সীমানা (boundary) 141 pm ব্যাসার্ধের একটি গোলক (sphere) (শুরুর পরীক্ষায় “৯০% সীমানা” বোতামটি এটাই দেখায়)।

ধাপ ৪: অরবিট বনাম অরবিটাল

ধাপ ৫: চারটি কোয়ান্টাম সংখ্যা

প্রতিটি ইলেকট্রনের একটি “ঠিকানা” আছে, চারটি সংখ্যায় লেখা — ঠিক যেমন জেলা → উপজেলা → বাড়ি → ঘর। প্রথম তিনটি শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান থেকে আসে, চতুর্থটি ইলেকট্রনের নিজস্ব ঘূর্ণন (spin) থেকে।

১. প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা (principal quantum number), n

• মান: n = 1, 2, 3, 4 … (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)। শেলের (shell) নাম K, L, M, N …
• বলে দেয় অরবিটালের আকার (size) ও শক্তি (energy)। n বড় হলে অরবিটাল বড়, শক্তি বেশি। হাইড্রোজেনে শক্তি শুধু n-এর ওপর নির্ভর করে: $E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}$ eV।
• একটি শেলে অরবিটাল $n^2$টি, সর্বোচ্চ ইলেকট্রন $2n^2$টি।

২. সহকারী বা অ্যাজিমুথাল কোয়ান্টাম সংখ্যা (azimuthal quantum number), l

• মান: n-এর প্রতিটি মানের জন্য l = 0, 1, 2 … (n − 1)। অর্থাৎ n = 1 শেলে শুধু l = 0; n = 3 শেলে l = 0, 1, 2।
• বলে দেয় উপস্তর (subshell) ও অরবিটালের আকৃতি (shape)। উপস্তরের নাম পুরনো বর্ণালি-রেখার (spectral line) নাম থেকে:

৩. চৌম্বক কোয়ান্টাম সংখ্যা (magnetic quantum number), m বা mₗ

• মান: l-এর প্রতিটি মানের জন্য m = −l, … 0, … +l — মোট $(2l+1)$টি মান। প্রতিটি মান একটি অরবিটাল।
• বলে দেয় অরবিটালটি স্থানে কোন দিকে বিন্যস্ত (orientation)। তাই p উপস্তরে ৩টি, d-তে ৫টি, f-এ ৭টি অরবিটাল।
• চৌম্বকক্ষেত্রে (magnetic field) বর্ণালি-রেখা কয়েকটি সূক্ষ্ম রেখায় ভাগ হয় (জিম্যান প্রভাব, Zeeman effect) — m-এর ধারণা সেখান থেকে।

৪. স্পিন কোয়ান্টাম সংখ্যা (spin quantum number), s বা mₛ

• মান: শুধু $+\tfrac{1}{2}$ (↑) অথবা $-\tfrac{1}{2}$ (↓)।
• ইলেকট্রন একটি ছোট চুম্বকের (magnet) মতো আচরণ করে; এর দুটি মাত্র অবস্থা সম্ভব। তাই একটি অরবিটালে সর্বোচ্চ ২টি ইলেকট্রন — বিপরীত স্পিনের (পরের পাঠে পাউলির নীতি, Pauli exclusion principle)।

সব মিলিয়ে গণনার নিয়ম:

নিজে n বদলে দেখো প্রতিটি শেলে কোন কোন l, m, s সম্ভব — আর নিচে যেকোনো সেট (n, l, m, s) যাচাই করো:

ধাপ ৬: নোড — যেখানে ইলেকট্রন কখনো নেই

তরঙ্গের চূড়া (crest) ধনাত্মক, খাদ (trough) ঋণাত্মক — মাঝখানে কোথাও না কোথাও মান শূন্য। ইলেকট্রন-তরঙ্গ $\psi$-ও যেখানে চিহ্ন (sign) বদলায় সেখানে $\psi = 0$, তাই $\psi^2 = 0$ — সেখানে ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা শূন্য। এমন তল (plane) বা পৃষ্ঠকে (surface) বলে নোড (node)। দুই ধরনের নোড:

• রেডিয়াল বা গোলাকার নোড (radial / spherical node): নিউক্লিয়াস থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে একটি গোলক। সংখ্যা $= n - l - 1$।
• কৌণিক নোড (angular node): নিউক্লিয়াসের মধ্য দিয়ে যাওয়া তল (plane) বা শঙ্কু (cone)। সংখ্যা $= l$।
• মোট নোড $= (n - l - 1) + l = n - 1$।

নিচে কয়েকটি অরবিটালকে নিউক্লিয়াসের মধ্য দিয়ে কেটে (প্রস্থচ্ছেদ, cross-section) দেখানো হলো — আসল $\psi$ থেকে হিসাব করে। “ψ” আর “ψ²” বোতাম বদলে দেখো: ψ²-তে চিহ্ন হারিয়ে যায়, কিন্তু নোডগুলো (কালো রেখা/বলয়, ring) থেকেই যায়।

ধাপ ৭: অরবিটালের আকৃতি

s অরবিটাল (l = 0): m-এর একটিই মান (0), তাই প্রতি শেলে একটি s অরবিটাল। আকৃতি গোলক (spherical) — নিউক্লিয়াস থেকে সব দিকে সমান। n বাড়লে গোলক বড় হয়, আর ভেতরে রেডিয়াল নোড যোগ হয় (2s-এ ১টি, 3s-এ ২টি) — পেঁয়াজের স্তরের মতো।

p অরবিটাল (l = 1): m = −1, 0, +1 — তিনটি অরবিটাল, নাম $p_x, p_y, p_z$। প্রতিটিতে নিউক্লিয়াসের দুই পাশে দুটি লোব (lobe), একটি অক্ষ (axis) বরাবর; মাঝখানে একটি নোডাল তল (nodal plane)। দুই লোবে $\psi$-এর চিহ্ন বিপরীত। একটি পরমাণুতে তিনটির শক্তি সমান — এদের বলে সমশক্তির (degenerate) অরবিটাল।

d অরবিটাল (l = 2): m = −2 … +2 — পাঁচটি অরবিটাল।

• $d_{xy}, d_{yz}, d_{xz}$: চারটি লোব, দুই অক্ষের মাঝখানে (৪৫° কোণে)। (একসঙ্গে এদের বলে $t_{2g}$ সেট।)
• $d_{x^2-y^2}$: চারটি লোব, ঠিক x আর y অক্ষের ওপর।
• $d_{z^2}$: আলাদা! z অক্ষ বরাবর দুটি লোব, আর xy তলে একটি বলয় (ring বা torus), যার চিহ্ন লোবের বিপরীত। এর দুটি কৌণিক নোড তল নয় — দুটি শঙ্কু (cone), z অক্ষের সঙ্গে 54.7° কোণে। ($d_{x^2-y^2}$ আর $d_{z^2}$ একসঙ্গে $e_g$ সেট।)

f অরবিটাল (l = 3): সাতটি অরবিটাল, প্রতিটিতে ৩টি কৌণিক নোড; আকৃতি জটিল। উচ্চমাধ্যমিকে এদের আকৃতি মুখস্থ করতে হয় না।

শক্তির ক্রম (energy order): হাইড্রোজেনে একই n-এর সব অরবিটালের শক্তি সমান (2s = 2p)। কিন্তু একাধিক ইলেকট্রনের পরমাণুতে (multi-electron atom) ইলেকট্রনগুলো পরস্পরকে বিকর্ষণ (repel) করে, তাই শক্তি n আর l দুটোর ওপর নির্ভর করে: $2s < 2p$, $3s < 3p < 3d$, এমনকি $4s < 3d$। পরের পাঠ — ইলেকট্রন বিন্যাস (electron configuration) — এটা দিয়েই শুরু।

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

এবার আসল হাইড্রোজেন তরঙ্গ-অপেক্ষক থেকে তৈরি অরবিটালগুলো 3D-তে হাতে নিয়ে দেখো:

• ওপরের বোতাম থেকে একটি অরবিটাল বেছে নাও (1s থেকে 3d পর্যন্ত ১৪টি)। আঙুল দিয়ে টেনে ঘোরাও, দুই আঙুলে জুম করো।
• মেঘ (cloud): |ψ|² থেকে নেওয়া হাজার হাজার “খোঁজা” বিন্দু — শুরুর পরীক্ষার মতোই। ৯০% পৃষ্ঠ (surface): যে পৃষ্ঠের ভেতরে ইলেকট্রনকে ৯০% সময় পাওয়া যায়। প্রস্থচ্ছেদ (slice): মাঝখান দিয়ে কেটে দেখা।
• নোড দেখাও চাপলে নোডাল তল, শঙ্কু আর গোলক দেখা যাবে। ভেতরে দেখো সামনের অর্ধেক কেটে ভেতরটা দেখায়।
• কমলা = $\psi$ ধনাত্মক, নীল = $\psi$ ঋণাত্মক। ডান পাশে দেখবে n, l, m, নোডের সংখ্যা আর রেডিয়াল সম্ভাবনার লেখচিত্র (graph)।
• চ্যালেঞ্জগুলো একে একে শেষ করো; প্রতিটি অরবিটালের তথ্য পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) জমা হবে।

ঘরে বসে পরীক্ষা: ডালের দানা দিয়ে “সম্ভাবনার মেঘ”

ψ² নিউক্লিয়াসে সর্বোচ্চ, অথচ সবচেয়ে সম্ভাব্য দূরত্ব শূন্য নয় — এই ধাঁধাটি ঘরেই নিজের হাতে দেখা যায়।

1. একটি বড় কাগজের মাঝখানে একটি বিন্দু আঁকো (এটি “নিউক্লিয়াস”)। কম্পাস (compass) দিয়ে বিন্দুটিকে কেন্দ্র করে 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকো।
2. কাগজটি মেঝেতে রাখো। কোমর সমান উচ্চতা থেকে একটি মসুর ডালের দানা বিন্দুটি লক্ষ করে ফেলো। দানা যেখানে থামে সেখানে পেনসিলে একটি ছোট দাগ দাও, দানাটি তুলে নাও। এভাবে অন্তত 100 বার।
3. প্রতিটি বলয়ে (0–2, 2–4, 4–6 … cm) কয়টি দাগ পড়ল গুনে একটি সারণিতে লেখো। প্রতিটি বলয়ের ক্ষেত্রফল (area) দিয়ে ভাগ করে “প্রতি বর্গ সেমিতে ঘনত্ব”-ও বের করো।
4. দেখবে: ঘনত্ব কেন্দ্রেই সবচেয়ে বেশি, কিন্তু সবচেয়ে বেশি দাগ পড়েছে মাঝের কোনো বলয়ে — কারণ বাইরের বলয়ের ক্ষেত্রফল বড়। 1s অরবিটালে ঠিক এ কারণেই ψ² নিউক্লিয়াসে সর্বোচ্চ, কিন্তু 4πr²ψ² সর্বোচ্চ a₀ দূরত্বে। (তোমার পরীক্ষাটি দ্বিমাত্রিক, তাই এখানে ক্ষেত্রফল r অনুপাতে বাড়ে; পরমাণুতে আয়তন বাড়ে r² অনুপাতে।)

পরীক্ষার প্রস্তুতি