পাঠ ৬ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.৭–২.৮

ভেক্টরের বিভাজন: উপাংশ, ঢাল, লন রোলার ও নৌকা টানাResolving vectors: components, slopes, lawn roller & towing

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৩ — সামান্তরিক সূত্র: লব্ধির মান, দিক, সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন ও ভেক্টর বিয়োগ

একটি খেলনা গাড়ি তক্তার ওপর রাখো, তারপর তক্তার এক মাথা আস্তে আস্তে তোলো। গাড়ির ওজন তো সোজা নিচের দিকে — তবু একসময় গাড়িটি ঢাল বেয়ে নামতে শুরু করে। নিচের স্লাইডার টেনে নিজে দেখো:

ঢালের কোণ (slope angle) θ

ঢাল বরাবর টান (along)0.85 N

সর্বোচ্চ আঁকড়ে ধরা (max grip)*1.93 N

ঢালের লম্বে চাপ (into)4.83 N

ওজন খাড়া নিচে, তবু তার একটা অংশ ঢাল বরাবর। কোণ বাড়ালে সবুজ অংশ বাড়ে, বেগুনি কমে।

*খেলনা গাড়ি 0.5 kg, g = 9.8 m/s²। আঁকড়ে ধরার সীমা (μ = 0.4) বোঝানোর জন্য ধরা একটি আনুমানিক মান (illustrative), মাপা নয়।

ওজন তো নিচের দিকে, তবু গাড়ি ঢাল বেয়ে নামে কেন? কারণ একটি ভেক্টরকে আমরা সুবিধামতো দুই (বা বেশি) ভাগে ভাঙতে পারি — একটি ভাগ ঢাল বরাবর, একটি ঢালের লম্বে। ঢাল বরাবর ভাগটিই গাড়িকে নামায়। এই ভাঙাকেই বলে ভেক্টরের বিভাজন (resolution)।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

বিভাজন — যোগের উল্টো কাজ
যেকোনো দুই দিকে বিভাজন — সাইন সূত্র (sine rule)
আয়ত উপাংশ (rectangular components) — $R\cos\alpha$ আর $R\sin\alpha$
উপাংশ দিয়ে অনেক বলের যোগ
নত তল (inclined plane) — $mg\sin\theta$ আর $mg\cos\theta$
লন রোলার (lawn roller) — ঠেলা না টানা?
দড়িতে নৌকা টানা, পাখির ওড়া, সাইকেলের প্যাডেল
এবার নিজে করে দেখো — উপাংশ ও ঢাল ল্যাব (component & slope lab)

ধাপ ১: বিভাজন — যোগের উল্টো কাজ

আগের পাঠে দুটি ভেক্টর $\vec{P}$ আর $\vec{Q}$ যোগ করে একটি লব্ধি (resultant) $\vec{R}$ পেয়েছ: $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ । এবার উল্টো প্রশ্ন: একটি ভেক্টর $\vec{R}$ দেওয়া আছে; কোন দুটি (বা বেশি) ভেক্টর যোগ করলে $\vec{R}$ পাওয়া যায়?

একটি ভেক্টরকে এমন কয়েকটি ভেক্টরে ভাঙা, যাদের লব্ধি মূল ভেক্টরটি — একেই বলে ভেক্টরের বিভাজন (resolution of a vector)। ভাঙা অংশগুলোকে বলে উপাংশ (components)।

মনে রাখো: উপাংশগুলো ভেক্টর নিয়মে যোগ করলে তবেই মূল ভেক্টর ফিরে আসে — সংখ্যার মতো যোগ করলে নয়। একটি ভেক্টরকে অসংখ্য উপায়ে ভাঙা যায়; কোন দুই দিকে ভাঙবে, তা ঠিক করো সমস্যার সুবিধা দেখে।

নিজে যাচাই করো

একটি 10 N বলকে দুটি উপাংশে ভাঙা হলো। নিচের কোন কথাটি সবসময় সত্য?

ধাপ ২: যেকোনো দুই দিকে বিভাজন

ধরো $\vec{R}$ -কে এমন দুই দিকে ভাঙতে হবে, যারা $\vec{R}$ -এর সাথে (দুই পাশে) $\alpha$ আর $\beta$ কোণ করে। $\vec{R}$ -কে কর্ণ ধরে ওই দুই দিকে বাহু নিয়ে একটি সামান্তরিক (parallelogram) আঁকো। বাহু দুটিই উপাংশ $a$ (α-এর দিকে) আর $b$ (β-এর দিকে)।

R-কে α ও β কোণের দুই দিকে ভাঙা: সবুজ a আর বেগুনি b মিলে সামান্তরিকের কর্ণ R। ত্রিভুজে সাইন সূত্র (sine rule) থেকেই a আর b।

সামান্তরিকের অর্ধেক একটি ত্রিভুজ: তার বাহু $a$ , $b$ , $R$ , আর $a$ -এর বিপরীত কোণ $\beta$ , $b$ -এর বিপরীত কোণ $\alpha$ , $R$ -এর বিপরীত কোণ $180^\circ - (\alpha + \beta)$ । ত্রিভুজের সাইন সূত্র (sine rule) থেকে:

\frac{a}{\sin\beta} = \frac{b}{\sin\alpha} = \frac{R}{\sin(\alpha + \beta)}

a = \frac{R\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}, \qquad b = \frac{R\sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)}

উদাহরণ: $R = 10$ N, $\alpha = 30^\circ$ , $\beta = 45^\circ$ হলে $a = 10\sin 45^\circ/\sin 75^\circ = 7.32$ N, $b = 10\sin 30^\circ/\sin 75^\circ = 5.18$ N। লক্ষ করো $a + b = 12.5$ N, 10 N নয় — উপাংশ সংখ্যার মতো যোগ হয় না।

নিজে যাচাই করো

R-কে দুই পাশে 45° আর 45° কোণে ভাঙলে প্রতিটি উপাংশ কত?

ধাপ ৩: আয়ত উপাংশ

সবচেয়ে কাজের বিভাজন হলো পরস্পর লম্ব দুই দিকে — সাধারণত x আর y অক্ষ বরাবর। এদের বলে আয়ত উপাংশ (rectangular components)। ধাপ ২-এর সূত্রে $\alpha + \beta = 90^\circ$ বসাও: $\sin(\alpha+\beta) = 1$ , $\sin\beta = \cos\alpha$ । তাই $\vec{R}$ যদি x অক্ষের সাথে $\alpha$ কোণ করে:

R_x = R\cos\alpha, \qquad R_y = R\sin\alpha

\vec{R} = R\cos\alpha\,\hat{i} + R\sin\alpha\,\hat{j}, \qquad R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \qquad \tan\alpha = \frac{R_y}{R_x}

উপাংশকে ভাবো ভেক্টরের ছায়া (shadow) হিসেবে: ওপর থেকে আলো ফেললে x অক্ষে যে ছায়া পড়ে তা $R_x$ , পাশ থেকে আলো ফেললে y অক্ষে যে ছায়া তা $R_y$ । নিচে A-এর শীর্ষবিন্দু টানো, তারপর অক্ষ দুটো ঘোরাও:

অক্ষ ঘোরাও (rotate axes) φ = 0.0°

A_x = A cos(θ − φ)4.00

A_y = A sin(θ − φ)3.00

√(A_x² + A_y²) = |A| (magnitude)5.00

x অক্ষ থেকে A-এর কোণ θ36.9°

শীর্ষবিন্দু টানো বা অক্ষ ঘোরাও। উপাংশ বদলায়, কিন্তু √(Ax² + Ay²) সবসময় |A| — ভেক্টরটা একই থাকে।

দুটি জিনিস লক্ষ করো:

অক্ষ ঘোরালে উপাংশ বদলায়, কিন্তু $\sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ বদলায় না — ভেক্টরটি একই, শুধু তার বর্ণনা বদলেছে।
x′ অক্ষ A বরাবর রাখলে $A_x = A$ আর লম্ব উপাংশ শূন্য। কোনো ভেক্টরের নিজের লম্ব দিকে কোনো উপাংশ নেই ( $A\cos 90^\circ = 0$ ), আর নিজের দিকে উপাংশ পুরো ভেক্টরটিই ( $A\cos 0^\circ = A$ )।

নিজে যাচাই করো

y অক্ষের সাথে 60° কোণে ক্রিয়াশীল 30 N বলের x ও y উপাংশ কত?

ধাপ ৪: উপাংশ দিয়ে অনেক বলের যোগ

একটি বিন্দুতে তিন-চারটি বল নানা কোণে কাজ করলে সামান্তরিক এঁকে এঁকে যোগ করা কষ্টকর। সহজ পথ: প্রতিটি বলকে x আর y উপাংশে ভাঙো, তারপর একই অক্ষের উপাংশগুলো বীজগাণিতিকভাবে যোগ করো (একই রেখায় বলে এখানে সংখ্যার মতো যোগ চলে, চিহ্নসহ):

R_x = \sum F\cos\theta, \qquad R_y = \sum F\sin\theta, \qquad R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \qquad \tan\theta_R = \frac{R_y}{R_x}

এখানে প্রতিটি $\theta$ মাপা +x অক্ষ থেকে, ঘড়ির কাঁটার উল্টো দিকে। 160° বা 210° কোণে cos বা sin নিজেই ঋণাত্মক হয়, তাই চিহ্ন আলাদা করে বসাতে হয় না।

পাদ (quadrant) সাবধান: $\tan\theta_R = R_y/R_x$ থেকে কোণ বের করলে ক্যালকুলেটর সবসময় −90° থেকে 90°-এর মধ্যে উত্তর দেয়। $R_x$ ঋণাত্মক হলে আসল কোণ তার সাথে 180° যোগ করে পাবে। যেমন $R_x = -1$ , $R_y = -1$ হলে $\tan^{-1}(1) = 45^\circ$ , কিন্তু আসল দিক $225^\circ$ — তৃতীয় পাদে। সিমুলেশনে এটি atan2 দিয়ে ঠিকভাবে করা হয়েছে।

সাম্যকারী বল (equilibrant): যে একটি বল যোগ করলে মোট লব্ধি শূন্য হয়, সেটি $-\vec{R}$ — মান $R$ , দিক উল্টো।

নিজে যাচাই করো

একটি বস্তুর ওপর 6 N পূর্বে আর 8 N উত্তরে বল কাজ করছে। লব্ধি কত?

ধাপ ৫: নত তল (inclined plane)

এবার শুরুর গাড়ির প্রশ্নের উত্তর। $\theta$ কোণের ঢালে $m$ ভরের বস্তুর ওজন $mg$ খাড়া নিচে। একে ঢাল বরাবর আর ঢালের লম্বে ভাঙো। ঢালের লম্ব রেখা খাড়া রেখার সাথে $\theta$ কোণ করে, তাই:

\text{along the slope: } mg\sin\theta, \qquad \text{perpendicular to the slope: } mg\cos\theta

$mg\cos\theta$ বস্তুকে ঢালের দিকে চাপে; ঢাল সমান ও বিপরীত অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া (normal reaction) $N = mg\cos\theta$ দিয়ে তা সামলায়।
$mg\sin\theta$ বস্তুকে ঢাল বেয়ে নামাতে চায়। ঘর্ষণ (friction) এটি সামলাতে না পারলে বস্তু পিছলে নামে।
$\theta = 0$ হলে ঢাল বরাবর অংশ শূন্য; $\theta$ বাড়লে $\sin\theta$ বাড়ে, $\cos\theta$ কমে — তাই খাড়া ঢালে গাড়ি নামে, আবার ঘর্ষণের জন্য চাপও (N) কমে।

নিজে যাচাই করো

10 kg ভরের একটি বস্তু 30° ঘর্ষণহীন ঢালে আছে (g = 9.8 m/s²)। ঢাল বরাবর ওজনের উপাংশ কত?

ধাপ ৬: লন রোলার — ঠেলা না টানা?

লন রোলারের (lawn roller) হাতলে অনুভূমিকের সাথে $\theta$ কোণে $F$ বল দাও। বলটিকে ভাঙো:

অনুভূমিক উপাংশ $F\cos\theta$ — রোলারকে সামনে চালায় (ঠেলা আর টানা দুই ক্ষেত্রেই)।
উল্লম্ব উপাংশ $F\sin\theta$ — ঠেললে নিচের দিকে চাপে, টানলে ওপরের দিকে তোলে।

তাই মাটির অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া:

\text{push: } N = W + F\sin\theta, \qquad \text{pull: } N = W - F\sin\theta

ঘর্ষণ বল N-এর সমানুপাতিক। টানলে N কম, তাই ঘর্ষণও কম — টানা সহজ। খেয়াল করো: রোলারের ওজন $W = mg$ কখনো বদলায় না। বদলায় মাটিতে চাপ, অর্থাৎ $N$ । “ওজন বাড়ে / কমে” বলা ভুল ভাষা — “আপাত ওজন” বা “মাটির প্রতিক্রিয়া বাড়ে / কমে” বলো।

হাতলের কোণ (handle angle) 30°বল (force) F = 150 N

ওজন W (weight)400 N

অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া N (normal reaction)325.0 N

সামনে টান F cosθ (forward)129.9 N

টানলে F sinθ ওপরে তোলে: N = W − F sinθ = 325.0 N। মাটিতে চাপ কম, তাই ঘর্ষণও (friction) কম — টানা সহজ। ওজন W = 400 N কিন্তু দুই ক্ষেত্রেই একই।

নিজে যাচাই করো

একটি লন রোলার 20 N বলে, অনুভূমিকের সাথে 30° কোণে একবার ঠেলা ও একবার টানা হলো। দুই ক্ষেত্রে মাটির প্রতিক্রিয়ার পার্থক্য কত?

ধাপ ৭: নৌকা টানা, পাখির ওড়া, সাইকেলের প্যাডেল

দড়িতে নৌকা টানা (towing a boat): নদীর পাড় থেকে মাঝি দড়ি দিয়ে নৌকা টানেন। দড়ির টান $F$ নৌকার গতির দিকের সাথে $\theta$ কোণ করে। $F\cos\theta$ নৌকাকে সামনে নেয়; $F\sin\theta$ নৌকাকে পাড়ের দিকে টানে — হাল (rudder) দিয়ে মাঝি এটি সামলান। দুই পাড় থেকে দুটি দড়িতে $\pm\theta$ কোণে টানলে পাশের টান দুটি কাটাকাটি যায়, সামনে থাকে $2F\cos\theta$ ।

দড়ি লম্বা করলে $\theta$ ছোট হয় ( $\sin\theta = d/L$ , $d$ = পাড় থেকে নৌকার দূরত্ব), $\cos\theta$ বড় হয় — একই টানে সামনে বেশি বল। একই কারণে ট্রলি ব্যাগের (trolley bag) লম্বা হাতল টানা সহজ।

দড়ির দৈর্ঘ্য (rope length) L = 20 m

দড়ির কোণ θ, sinθ = d/L36.9°

প্রতি দড়িতে সামনে F cosθ (F = 100 N)80.0 N

মোট পাশে টান (net sideways)60.0 N

এক দড়িতে পাশে 60.0 N টান নৌকাকে পাড়ের দিকে টানে — হাল (rudder) দিয়ে এটি সামলাতে হয়। দড়ি লম্বা করো: θ কমে, সামনে টান বাড়ে।

পাখির ওড়া (bird flight): ডানা ঝাপটানোর সময় পাখি ডানা দিয়ে বাতাসকে নিচে ও পেছনে ঠেলে। নিউটনের তৃতীয় সূত্রে বাতাস দুই ডানায় ওপরে ও সামনে প্রতিক্রিয়া বল দেয়। দুই ডানার এই দুই প্রতিক্রিয়ার লব্ধি (সামান্তরিক সূত্রে) ওপরে-সামনে — তার উল্লম্ব উপাংশ পাখিকে ভাসিয়ে রাখে, অনুভূমিক উপাংশ সামনে এগিয়ে নেয়।

সাইকেলের প্যাডেল (bicycle pedal): প্যাডেলে পা দিয়ে খাড়া নিচে $F$ বল দিলে তা দুই ভাগে ভাঙে — ক্র্যাঙ্ক (crank) বরাবর একটি অংশ, যা শুধু অক্ষের দিকে চাপে, আর ক্র্যাঙ্কের লম্বে একটি অংশ, যা চাকা ঘোরায়। ক্র্যাঙ্ক অনুভূমিক থাকলে পুরো বলই ঘোরায়; ক্র্যাঙ্ক খাড়া থাকলে ঘোরানোর অংশ শূন্য — তাই প্যাডেলের একেবারে ওপরে-নিচে পা দিয়ে চাপলে লাভ নেই।

নিজে যাচাই করো

দড়ি লম্বা করায় নৌকার সাথে দড়ির কোণ 60° থেকে 30° হলো, টান একই। সামনে টান কত গুণ হলো?

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ল্যাবে তিনটি ট্যাব:

বলের সারণি (force table): সর্বোচ্চ 5টি বল বসাও — প্রতিটির মান আর +x অক্ষ থেকে কোণ। প্রতিটির উপাংশ, যোগফল, লব্ধি $R$ আর সাম্যকারী বল দেখাবে। খাতায় লেখো চাপলে মাপগুলো পর্যবেক্ষণ খাতায় যাবে।
ঢাল (incline): ভর, কোণ আর ঢাল বরাবর ঠেলা বদলে দেখো বস্তুটি কখন স্থির থাকে।
রোলার ও দড়ি (roller, rope): লন রোলারের অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া আর দড়িতে নৌকা টানার হিসাব।

চ্যালেঞ্জগুলো একে একে শেষ করো — প্রতিটির পর “কেন” খুলে পড়ো।

উপাংশ ও ঢাল ল্যাব

Component & slope lab — resolve, add, incline, roller, tow rope

↗

F1মান (N)+x থেকে কোণ (°)

F2মান (N)+x থেকে কোণ (°)

বল	F cosθ (x)	F sinθ (y)
F1	34.64	20.00
F2	-15.00	25.98
যোগ (Σ)	19.64	45.98

লব্ধি (resultant) R = √(Rx² + Ry²)50.00 N

+x থেকে R-এর কোণ (atan2)66.87°

সাম্যকারী বল (equilibrant)50.00 N, 246.9°

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/7

বইয়ের উদাহরণ ২.৬-১: 50 N (90°), 100 N (0°), 60 N (160°), 50 N (210°) — চারটি বল বসিয়ে লব্ধি বের করো।
y অক্ষের সাথে 60° কোণে একটি 30 N বল বসাও (একটিই বল)। উপাংশ দুটি কত? এরা মিলে আবার কত হয়?
10 kg বস্তুতে 10 N পূর্বে, 2 N পশ্চিমে, 8 N উত্তরে, 2 N দক্ষিণে (পূর্ব = 0°, উত্তর = 90°)। লব্ধি আর ত্বরণ কত?
ঠিক দুটি বল দিয়ে এমন লব্ধি বানাও যেখানে একটি বল লব্ধির সমান আর লব্ধির লম্ব (সাইকেলের প্যাডেল CQ)।
ঢাল ট্যাবে: 10 kg বস্তু, 30° ঘর্ষণহীন ঢাল। ঢাল বরাবর কত বলে ঠেললে বস্তুটি স্থির থাকে?
রোলার: F = 20 N, θ = 30°। একবার ঠেলো, একবার টানো। N-এর পার্থক্য কত? (0/2)
500 kg নৌকা, দুই পাড়ে দুই দড়ি ±30°, স্থির থেকে 5 মিনিটে (300 s) 3.6 km। প্রতি দড়িতে F কত লাগবে?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। বলের সারণিতে বল বসিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কয়েকটি ভুল আছে:

উপাংশের “যোগফল” (পৃ. 89): 30 N বলকে $15\sqrt{3}$ N আর 15 N উপাংশে ভেঙে লেখা হয়েছে “যোগফল = $15(\sqrt{3}+1)$ N, বিয়োগফল = $15(\sqrt{3}-1)$ N”। এটি অর্থহীন — লম্ব উপাংশ সংখ্যার মতো যোগ হয় না। উপাংশ দুটির ভেক্টর যোগফল মূল 30 N বলটিই।
উদাহরণ ২.৬-১ (পৃ. 91): চার বলের লব্ধি $R = 45.55$ N লেখা — বইয়ের নিজের যোগফল ( $\Sigma F_x = 0.32$ N, $\Sigma F_y = 45.52$ N) থেকেই $R = 45.52$ N হয়। আর $R^2$ -এর একক N², N নয়।
“ওজন বাড়ে / কমে” (পৃ. 90–91, এবং MCQ 4): লন রোলার ঠেললে বা টানলে ওজন $W$ বদলায় না — বদলায় অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া $N = W \pm F\sin\theta$ । পৃ. 90-এর “মোট ওজন হয় $(W + R\sin\theta)$ ” আসলে $W + F\sin\theta$ , আর পৃ. 91-এর “ $W - F\sin 0$ ” আসলে $W - F\sin\theta$ — ছাপার ভুল।
MCQ 4 (19.6 N বলে 30° কোণে টানা রোলার “ওজন কত কমবে”): উত্তরমালায় 9.8 kg। আসলে $F\sin 30^\circ = 9.8$ N ≈ 1 kg-wt। বইয়ের মান (book value): 9.8 kg — ভুল।
দড়ির কোণ (পৃ. 90): “OQ রশি লম্বা এবং θ′ > θ” — বইয়েরই যুক্তি অনুযায়ী লম্বা দড়িতে কোণ ছোট, তাই θ′ < θ।
নৌকা টানা, সৃজনশীল প্রশ্ন (পৃ. 121, প্রশ্নব্যাংক CQ3): দুই দড়ি গতির সাথে 30° কোণে, কিন্তু সমাধানে cos60° বসিয়ে F = 40 N লেখা। সঠিক: $2F\cos 30^\circ = ma = 40$ N, তাই F = 23.1 N। (খ) অংশে সমান্তরালে টানলে সময় 279 s (বইয়ে 212 s); “5 মিনিটের মধ্যে পৌঁছাবে” সিদ্ধান্তটি ঠিক থাকে।
সি.বো. 2021 প্রশ্ন (পৃ. 130): “R = 10N − 2N + 8N − 2N = 14N উত্তর-পূর্ব কোণে” — পূর্ব আর উত্তরের বল লম্ব, সংখ্যার মতো যোগ চলে না। নিট বল 10 N, পূর্ব থেকে 36.87° উত্তরে।

ঘরে বসে পরীক্ষা

তোমার লাগবে: বই ভরা একটি স্কুলব্যাগ, একটি লাগেজ স্কেল (luggage scale; না থাকলে একটি রাবার ব্যান্ড আর স্কেল — রাবার যত লম্বা হয়, টান তত বেশি), আর ব্যাগের হাতলে বাঁধার জন্য একটি ছোট আর একটি লম্বা ফিতা।

ছোট ফিতা বেঁধে, হাত উঁচু রেখে (বড় কোণে) মেঝের ওপর ব্যাগটি টানো। ঠিক নড়তে শুরু করার মুহূর্তে স্কেলের পাঠ (বা রাবারের দৈর্ঘ্য) লেখো।
এবার লম্বা ফিতা বেঁধে, হাত নিচু রেখে (ছোট কোণে) একইভাবে টানো। কোনটিতে কম টান লাগল?
ফিতার কোণ আন্দাজ করো (বা ফোনের কোণমাপক অ্যাপ দিয়ে মাপো)। প্রতিবার $F\cos\theta$ হিসাব করো — নড়ানোর জন্য দরকারি অনুভূমিক অংশটি দুই ক্ষেত্রে কাছাকাছি হওয়ার কথা।
একটি লাঠি হাতলের মতো ধরে ব্যাগটি একবার নিচের দিকে চেপে ঠেলো, একবার ওপরের দিকে তুলে টানো। কোনটিতে কষ্ট বেশি, আর কেন?

নিরাপত্তা: খালি, শুকনো মেঝেতে করো; ব্যাগ বেশি ভারী কোরো না; রাবার ব্যান্ড বেশি টেনো না — ছিঁড়ে চোখে লাগতে পারে।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. ভেক্টরের বিভাজন কাকে বলে? একটি ভেক্টর $\vec{R}$ x অক্ষের সাথে $\alpha$ কোণ করলে তার আয়ত উপাংশ নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

একটি ভেক্টরকে এমন দুই বা ততোধিক ভেক্টরে ভাঙা, যাদের লব্ধি মূল ভেক্টর, তাকে ভেক্টরের বিভাজন বলে। $\vec{R}$ -কে কর্ণ ধরে x আর y অক্ষ বরাবর বাহু নিয়ে আয়তক্ষেত্র আঁকলে সমকোণী ত্রিভুজ থেকে $R_x = R\cos\alpha$ , $R_y = R\sin\alpha$ । তাই $\vec{R} = R\cos\alpha\,\hat{i} + R\sin\alpha\,\hat{j}$ , আর $R_x^2 + R_y^2 = R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = R^2$ ।

২. লন রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ কেন? ব্যাখ্যা করো।

উত্তর দেখো

হাতলে অনুভূমিকের সাথে θ কোণে F বল দিলে অনুভূমিক উপাংশ $F\cos\theta$ রোলার চালায় — দুই ক্ষেত্রেই সমান। ঠেললে উল্লম্ব উপাংশ $F\sin\theta$ নিচে চাপে, তাই অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া $N = W + F\sin\theta$ ; টানলে তা ওপরে তোলে, $N = W - F\sin\theta$ । ঘর্ষণ $\mu N$ -এর সমানুপাতিক, তাই টানলে ঘর্ষণ কম — টানা সহজ। রোলারের ওজন W দুই ক্ষেত্রেই একই।

৩. একটি বিন্দুতে 50 N (90°), 100 N (0°), 60 N (160°) ও 50 N (210°) বল কাজ করছে (কোণ +x অক্ষ থেকে)। লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

$\Sigma F_x = 100 + 60\cos160^\circ + 50\cos210^\circ = 100 - 56.38 - 43.30 = 0.32$ N

$\Sigma F_y = 50 + 60\sin160^\circ + 50\sin210^\circ = 50 + 20.52 - 25 = 45.52$ N

$R = \sqrt{0.32^2 + 45.52^2} = 45.52$ N, $\theta = \tan^{-1}(45.52/0.32) = 89.6^\circ$ (+x অক্ষ থেকে) — প্রায় খাড়া ওপরে। (বইয়ের মান 45.55 N।)

৪. 500 kg ভরের একটি নৌকাকে দুই পাড় থেকে দুটি দড়ি দিয়ে টানা হচ্ছে; প্রতিটি দড়ি গতির দিকের সাথে 30° কোণ করে। নৌকাটি স্থির অবস্থা থেকে 5 মিনিটে 3.6 km গেল। (ক) প্রতিটি দড়ির টান কত? (খ) একই টানে দড়ি দুটি গতির সমান্তরালে টানলে কত সময় লাগত? (পানির বাধা উপেক্ষা করো।)

উত্তর দেখো

(ক) $s = \tfrac{1}{2}at^2 \Rightarrow a = \dfrac{2 \times 3600}{300^2} = 0.08$ m/s²। পাশের টান কাটাকাটি, সামনে $2F\cos30^\circ = ma = 500 \times 0.08 = 40$ N, তাই $F = \dfrac{40}{2 \times 0.866} = 23.1$ N।

(খ) সমান্তরালে: $a' = \dfrac{2F}{m} = \dfrac{46.19}{500} = 0.0924$ m/s², $t' = \sqrt{\dfrac{2s}{a'}} = \sqrt{\dfrac{7200}{0.0924}} = 279$ s ≈ 4.65 মিনিট — আগের চেয়ে কম সময়।

৫. 10 kg ভরের একটি বস্তুর ওপর পূর্বে 10 N, পশ্চিমে 2 N, উত্তরে 8 N ও দক্ষিণে 2 N বল কাজ করছে। বস্তুটির ত্বরণের মান ও দিক নির্ণয় করো। (সি.বো. 2021 ধরনের)

উত্তর দেখো

পূর্বে নিট $10 - 2 = 8$ N, উত্তরে নিট $8 - 2 = 6$ N। এরা লম্ব, তাই $F = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ N, দিক $\tan^{-1}(6/8) = 36.87^\circ$ পূর্ব থেকে উত্তরে। $a = F/m = 10/10 = 1$ m/s², একই দিকে। (“8 + 6 = 14 N” ভুল।)

৬. পাখি কীভাবে ভেক্টরের সামান্তরিক সূত্র কাজে লাগিয়ে ওড়ে? (ম.বো. 2021 ধরনের)

উত্তর দেখো

পাখি দুই ডানা দিয়ে বাতাসকে নিচে ও পেছনে ঠেলে। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী বাতাস দুই ডানায় ওপরে-সামনে দুটি প্রতিক্রিয়া বল দেয়। এই দুই বলকে সামান্তরিকের দুই বাহু ধরলে কর্ণ বরাবর লব্ধি ওপরে ও সামনে। লব্ধির উল্লম্ব উপাংশ ওজনকে ঠেকায় (ভাসিয়ে রাখে), অনুভূমিক উপাংশ পাখিকে সামনে নেয়।

৭. (MCQ) একটি লন রোলারকে অনুভূমিকের সাথে 30° কোণে 19.6 N বলে টানা হলো। মাটির ওপর এর চাপ (অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া) কতটুকু কমবে? (g = 9.8 m/s²) (ক) 0.5 kg-wt (খ) 1 kg-wt (গ) 2 kg-wt (ঘ) 9.8 kg-wt

উত্তর দেখো

(খ) $F\sin30^\circ = 19.6 \times 0.5 = 9.8$ N $= 9.8/9.8 = 1$ kg-wt। ওজন নিজে কমে না, কমে অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া। বইয়ের উত্তরমালায় (ঘ) 9.8 kg — N আর kg গুলিয়ে ফেলা ভুল।