পাঠ ৭ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.৯ (+ ২.৩, ২.৭.৩)

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক: i, j, k, অবস্থান ভেক্টর ও দিক কোসাইন (3D)3-D coordinates: i, j, k, position vectors & direction cosines

তোমার ঘরে একটি মাছি উড়ছে। বন্ধুকে ফোনে বলতে হবে মাছিটি ঠিক কোথায় — “জানালার কাছে, একটু ওপরে” বললে চলবে না। ঘরের এক কোণকে শুরু ধরে নিচের স্লাইডারগুলো টেনে মাছিটি ধরো, আর ছবিটি আঙুল দিয়ে ঘুরিয়ে দেখো:

ঘরের ভেতর যেকোনো জায়গা বোঝাতে কয়টি সংখ্যা লাগে? মেঝে বরাবর দুই দিকে কত, আর ওপরে কত — ঠিক তিনটি। এই তিন সংখ্যা দিয়ে একটি ভেক্টর লেখা যায়, যার মান আর দিক দুটোই হিসাব করা যায়। চলো ধাপে ধাপে দেখি।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

1. ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (3-D coordinate system) আর আয়ত একক ভেক্টর (rectangular unit vectors) $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$
2. অবস্থান ভেক্টর (position vector) আর তার মান
3. দুই বিন্দুর সংযোগকারী ভেক্টর আর দূরত্ব (distance)
4. উপাংশ দিয়ে যোগ-বিয়োগ আর একক ভেক্টর
5. দিক কোসাইন (direction cosines)
6. সমতলে প্রক্ষেপ (projection on a plane)
7. সমরেখ বিন্দু (collinear points)
8. সময়ের সাথে বদলানো অবস্থান ভেক্টর — গতিপথ (trajectory)
9. এবার নিজে করে দেখো — ijk ত্রিমাত্রিক ল্যাব

ধাপ ১: তিন অক্ষ আর î, ĵ, k̂

আগের পাঠে (উপাংশে বিভাজন) তুমি সমতলে x আর y অক্ষ নিয়ে কাজ করেছ। ঘরটা কিন্তু সমতল নয় — তৃতীয় একটি দিক লাগে: ওপরে। একটি বিন্দু O (মূলবিন্দু, origin) থেকে পরস্পর লম্ব (mutually perpendicular) তিনটি সরলরেখা টানো — x, y আর z অক্ষ। ঘরের কোণে মেঝের দুই কিনারা আর দুই দেয়ালের সংযোগরেখা ঠিক এমন তিনটি অক্ষ।

প্রতিটি ধনাত্মক অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর (unit vector) নেওয়া হয় — মান 1, কাজ শুধু দিক জানানো:

অক্ষগুলো কোন ক্রমে সাজানো, সেটাও ঠিক করা আছে: ডান হাতি ব্যবস্থা (right-handed system)। ডান হাতের চার আঙুল +x থেকে +y-এর দিকে মোড়ালে বুড়ো আঙুল যেদিকে থাকে, সেটি +z। ভেক্টর গুণনের পাঠে (cross product) এটিকে লেখা হবে $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$।

ধাপ ২: অবস্থান ভেক্টর আর তার মান

মূলবিন্দু O থেকে কোনো বিন্দু P(x, y, z) পর্যন্ত টানা ভেক্টরকে P-এর অবস্থান ভেক্টর (position vector) বলে। শুরুর মাছির খেলায় যা করেছ: x ঘর $\hat{i}$ বরাবর, তারপর y ঘর $\hat{j}$ বরাবর, তারপর z ঘর $\hat{k}$ বরাবর — তিনটি তীর মাথা-লেজ জুড়ে দিলে লব্ধি

এখানে $x, y, z$ হলো $\vec{r}$-এর উপাংশ (components)। এর মান বের করতে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ লাগে। নিচে “বাক্স দেখাও” চাপো, তারপর ত্রিভুজ দুটি একে একে চালু করো:

• মেঝেতে $\triangle OQN$: $Q$ বিন্দুতে সমকোণ, তাই $ON^2 = OQ^2 + QN^2 = x^2 + y^2$।
• খাড়া $\triangle ONP$: $NP$ খাড়া আর $ON$ মেঝেতে, তাই $N$ বিন্দুতে সমকোণ: $OP^2 = ON^2 + NP^2$।

উদাহরণ: $\vec{r} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$ হলে $ON = \sqrt{9 + 16} = 5$, আর $r = \sqrt{25 + 144} = 13$।

ধাপ ৩: দুই বিন্দুর সংযোগকারী ভেক্টর

P আর Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}_P$ আর $\vec{r}_Q$। O থেকে P, তারপর P থেকে Q গেলে মোট সরণ O থেকে Q-এর সমান (ত্রিভুজ সূত্র): $\vec{r}_P + \vec{PQ} = \vec{r}_Q$। তাই

মনে রাখো: শেষ বিন্দু বিয়োগ শুরু বিন্দু। উল্টো করলে $\vec{QP} = -\vec{PQ}$ — মান একই, দিক উল্টো।

ধাপ ৪: উপাংশ দিয়ে যোগ-বিয়োগ আর একক ভেক্টর

$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ আর $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ হলে একই একক ভেক্টরের উপাংশ আলাদা করে যোগ-বিয়োগ করা যায় (কারণ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ পরস্পর লম্ব, একে অন্যের ওপর কোনো প্রভাব নেই):

যেকোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে সেই দিকের একক ভেক্টর:

উদাহরণ: $\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$, $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ হলে $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k}$, $R = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 7.07$, আর লব্ধির দিকে একক ভেক্টর $\hat{r} = \dfrac{3\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{50}}$।

ধাপ ৫: দিক কোসাইন

3D-তে একটি কোণ দিয়ে দিক বোঝানো যায় না। তাই $\vec{A}$ তিন ধনাত্মক অক্ষের সাথে যে তিনটি কোণ করে — $\alpha$ (x-এর সাথে), $\beta$ (y-এর সাথে), $\gamma$ (z-এর সাথে) — সেগুলোর কোসাইন নেওয়া হয়। এদের বলে দিক কোসাইন (direction cosines):

কেন? $\vec{A}$-এর মাথা থেকে x-অক্ষে লম্ব টানলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়, যার অতিভুজ $A$ আর O-সংলগ্ন বাহু $A_x$। নিচে কোণ বেছে ত্রিভুজটি দেখো, আর স্লাইডার টেনে ভেক্টর ঘোরাও:

তিনটি বর্গ যোগ করো: $l^2 + m^2 + n^2 = \dfrac{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}{A^2} = 1$ — সব ভেক্টরের জন্য। আরও খেয়াল করো, $l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ আসলে $\hat{a}$, অর্থাৎ একক ভেক্টরের উপাংশই দিক কোসাইন।

উদাহরণ: $\vec{A} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $A = \sqrt{14}$, $\cos\alpha = 1/\sqrt{14} = 0.267$, তাই x-অক্ষের সাথে কোণ $\alpha = 74.50^\circ$।

ধাপ ৬: সমতলে প্রক্ষেপ

ভেক্টরটির ওপর থেকে আলো ফেললে মেঝেতে (XY সমতল) যে ছায়া পড়ে, তা-ই XY সমতলে তার প্রক্ষেপ (projection)। হিসাব খুব সহজ: যে অক্ষ সমতলের লম্ব, সেই উপাংশটি বাদ দাও।

পুরো ভেক্টরের মান $\sqrt{29} = 5.39$ — কোনো প্রক্ষেপ এর চেয়ে বড় হতে পারে না। নিচের ল্যাবে XY, YZ, ZX বোতাম চাপলে ছায়াগুলো ড্যাশ তীরে দেখাবে।

ধাপ ৭: সমরেখ বিন্দু

A, B, C তিনটি বিন্দু এক সরলরেখায় (collinear) থাকলে $\vec{AB}$ আর $\vec{BC}$ একই রেখা বরাবর — একটি অন্যটির স্কেলার গুণিতক:

উপাংশে লিখলে তিনটি অনুপাত সমান হতে হবে: $\dfrac{x_C - x_B}{x_B - x_A} = \dfrac{y_C - y_B}{y_B - y_A} = \dfrac{z_C - z_B}{z_B - z_A}$ (যে উপাংশের হর শূন্য, তার লবও শূন্য হতে হবে)।

উদাহরণ: অবস্থান ভেক্টর $60\hat{i} + 3\hat{j}$, $40\hat{i} - 8\hat{j}$, $a\hat{i} - 52\hat{j}$। $\vec{AB} = -20\hat{i} - 11\hat{j}$, $\vec{BC} = (a - 40)\hat{i} - 44\hat{j}$। y থেকে $t = -44 / -11 = 4$, তাই $a - 40 = 4 \times (-20)$, অর্থাৎ $a = -40$।

ধাপ ৮: সময়ের সাথে বদলানো অবস্থান ভেক্টর

উপাংশগুলো যদি সময় $t$-এর ওপর নির্ভর করে, বিন্দুটি চলতে থাকে, আর $\vec{r}$-এর মাথা একটি গতিপথ (trajectory) আঁকে। যেমন

এখানে $x = t^2 - 1$ আর $y = 2t$। $t = y/2$ বসালে $x = y^2/4 - 1$, অর্থাৎ $y^2 = 4(x + 1)$ — একটি পরাবৃত্ত (parabola), যার শীর্ষ $(-1, 0)$। t স্লাইডার টেনে দেখো:

এই ধারণা থেকেই পরে বেগ আর ত্বরণ আসবে: $\vec{v} = d\vec{r}/dt$ (ভেক্টর ক্যালকুলাসের পাঠে)।

ধাপ ৯: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ত্রিমাত্রিক ল্যাবে তিনটি পর্যন্ত ভেক্টর A, B, C বসাও (C-এর পাশে টিক দিলে C চালু হয়):

• প্রতিটি ঘরে x, y, z উপাংশ লেখো। দৃশ্যটি নিজে থেকে মাপ বদলায় — 60î-এর মতো বড় সংখ্যাও ধরে যায় (ব্যাজে “এক ঘর = …” দেখো)।
• সারণিতে প্রতিটি ভেক্টরের উপাংশ, মান, একক ভেক্টর আর α, β, γ দেখাবে।
• যোগফল, A − B আর AB (দুই মাথার মধ্যের ভেক্টর ও দূরত্ব) চালু করো; XY / YZ / ZX বোতামে প্রক্ষেপ দেখো।
• আঙুল টেনে ঘোরাও; দুর্বল ফোনে “সমতলে দেখাও” চাপলে স্থির ছবি আসবে।
• চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে মাপগুলো পর্যবেক্ষণ খাতায় রাখো।

ঘরে বসে পরীক্ষা: ঘরের কোণ থেকে অবস্থান ভেক্টর

তোমার লাগবে: একটি মাপার ফিতা (measuring tape), খাতা-কলম, আর একজন সাহায্যকারী।

1. ঘরের মেঝের একটি কোণকে মূলবিন্দু O ধরো। মেঝের এক কিনারা x-অক্ষ, অন্য কিনারা y-অক্ষ, আর দুই দেয়ালের খাড়া সংযোগরেখা z-অক্ষ।
2. একটি তাকের ওপর রাখা জিনিস (যেমন একটি বই বা ঘড়ি) বেছে নাও। ফিতা দিয়ে মাপো: এক দেয়াল থেকে তার দূরত্ব (x), অন্য দেয়াল থেকে দূরত্ব (y), আর মেঝে থেকে উচ্চতা (z)।
3. লেখো $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, আর হিসাব করো $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$।
4. এবার সাহায্যকারী কোণ O-তে ফিতার শুরু চেপে ধরুক, তুমি ফিতা টানটান করে জিনিসটি পর্যন্ত নাও — সরাসরি দূরত্ব পড়ো। হিসাবের সাথে কত মিলল? পার্থক্য কোথা থেকে আসতে পারে (ফিতা ঝুলে যাওয়া, দেয়াল পুরো খাড়া না হওয়া)?
5. বোনাস: দিক কোসাইন $l = x/r$, $m = y/r$, $n = z/r$ বের করে দেখো $l^2 + m^2 + n^2$ কত কাছাকাছি 1।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে? P(2, −3, 4) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ও তার মান নির্ণয় করো।

২. P(2, 1, −1) ও Q(4, 3, 0) বিন্দু দুটির সংযোগকারী ভেক্টর $\vec{PQ}$, দূরত্ব PQ আর $\vec{PQ}$-এর দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

৩. $\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ ও $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ হলে এদের লব্ধির দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় করো। (বোর্ড প্রশ্নের ধরন)

৪. $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$-এর দিক কোসাইনগুলো নির্ণয় করো এবং দেখাও যে $l^2 + m^2 + n^2 = 1$। ভেক্টরটি z-অক্ষের সাথে কত কোণ করে?

৫. দেখাও যে $\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{B} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$, $\vec{C} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

৬. একটি কণার অবস্থান ভেক্টর $\vec{r} = (t^2 - 1)\hat{i} + 2t\,\hat{j}$ (একক m, t সেকেন্ডে)। কণাটির গতিপথের সমীকরণ নির্ণয় করো। t = 2 s-এ মূলবিন্দু থেকে কণাটির দূরত্ব কত?

৭. (MCQ) $\vec{F}_1 = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ ও $\vec{F}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ বলের লব্ধির মান কত? (ক) 10.22 (খ) 10.52 (গ) 10.68 (ঘ) 11.52