পাঠ ৮ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.১০–২.১০.১

স্কেলার (ডট) গুণন: অভিক্ষেপ, কোণ ও কাজScalar (dot) product: projection, angle & work

একটি ভারী বাক্স দড়ি দিয়ে মেঝের ওপর 5 m টেনে নিতে হবে। দড়িতে টান সবসময় 50 N। দড়িটা মেঝের সমান্তরাল রাখবে, না একটু উঁচু করে ধরবে? নিচে দড়ির কোণ বদলে টেনে দেখো:

একই বল, একই দূরত্ব — তবু কাজ কেন কমে যায়? কারণ বলের পুরোটা সরণের দিকে নয়; কাজ করে শুধু সরণের দিকের অংশটুকু, $F\cos\alpha$। দুটি ভেক্টর থেকে এভাবে একটি সংখ্যা (স্কেলার) বের করার নিয়মই স্কেলার বা ডট গুণন (scalar or dot product)।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

1. ভেক্টরের দুই রকম গুণ — স্কেলার (dot) আর ভেক্টর (cross) গুণন
2. সংজ্ঞা $\vec{A}\cdot\vec{B} = AB\cos\alpha$ আর অভিক্ষেপ (projection)
3. তিনটি বিশেষ কোণ — 0°, 90°, 180°; লম্ব হওয়ার পরীক্ষা (perpendicular test)
4. কাজ (work) আর ক্ষমতা (power) — ডট গুণনের ভৌত উদাহরণ
5. ধর্ম (properties) আর উপাংশে ডট গুণন (component form)
6. দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ (angle between vectors)
7. প্রয়োগ — অজানা উপাংশ, $(\vec{A}+\vec{B})\perp(\vec{A}-\vec{B})$, অর্ধবৃত্তের কোণ
8. এবার নিজে করে দেখো — ডট গুণন ও অভিক্ষেপ ল্যাব (dot product lab)

ধাপ ১: ভেক্টরের দুই রকম গুণ

আগের পাঠগুলোতে দেখেছ, ভেক্টরকে একটি স্কেলার দিয়ে গুণ করলে দিক একই থাকে (বা উল্টে যায়), শুধু মান বদলায়: $3\vec{A}$, $-\vec{A}$। কিন্তু দুটি ভেক্টরকে নিজেদের মধ্যে গুণ করলে কী হয়? দুই রকম গুণ আছে, ফলাফলের ধরন দিয়ে তাদের নাম:

এই পাঠ ডট গুণনের; ক্রস গুণন পরের পাঠে। চিহ্নটি গুরুত্বপূর্ণ: $\vec{A}\cdot\vec{B}$ আর $\vec{A}\times\vec{B}$ সম্পূর্ণ আলাদা জিনিস, আর দুটি ভেক্টর পাশাপাশি লিখে ($\vec{A}\vec{B}$) কোনো অর্থ হয় না।

ধাপ ২: সংজ্ঞা আর অভিক্ষেপ

দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ আর $\vec{B}$-এর পাদবিন্দু এক জায়গায় রাখলে তাদের মধ্যে কোণ $\alpha$ (যেখানে $0 \le \alpha \le \pi$, অর্থাৎ 0° থেকে 180°)। তখন

অর্থাৎ মান দুটির গুণফল × তাদের মধ্যবর্তী কোণের cosine। ফলটি একটি সংখ্যা — এর কোনো দিক নেই।

এর জ্যামিতিক অর্থ বোঝার জন্য অভিক্ষেপ (projection): $\vec{A}$-এর রেখার ঠিক লম্ব দিকে আলো ফেললে $\vec{B}$-এর যে ছায়া $\vec{A}$-এর রেখায় পড়ে, তার দৈর্ঘ্য $B\cos\alpha$। তাই

নিচে B-এর মাথা টেনে ঘোরাও। কোণ 90° পার হলে ছায়ার কী হয় লক্ষ করো:

কোণ স্থূল (obtuse, > 90°) হলে $\cos\alpha < 0$, ছায়া পেছনের দিকে পড়ে — অভিক্ষেপ ঋণাত্মক। বোর্ডের প্রশ্নে অভিক্ষেপের “মান” চাইলে চিহ্ন বাদ দিয়ে লেখা হয়; কিন্তু চিহ্নটি ফেলে দেওয়ার আগে বুঝে নাও: ঋণাত্মক মানে কোণ 90°-এর বেশি।

ধাপ ৩: তিনটি বিশেষ কোণ

• $\alpha = 0°$ (সমান্তরাল, parallel): $\vec{A}\cdot\vec{B} = AB$ — সর্বোচ্চ।
• $\alpha = 90°$ (লম্ব, perpendicular): $\vec{A}\cdot\vec{B} = 0$।
• $\alpha = 180°$ (বিপরীতমুখী, antiparallel): $\vec{A}\cdot\vec{B} = -AB$ — সর্বনিম্ন।

মাঝের লাইনটিই সবচেয়ে কাজের: দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলে তারা পরস্পর লম্ব, আর উল্টোটাও সত্য। কোনো কোণ না মেপেই লম্ব কি না যাচাই করার এটিই সবচেয়ে সহজ উপায় — এর নাম লম্বতার শর্ত (condition of perpendicularity): $\vec{A}\cdot\vec{B} = 0$।

ধাপ ৪: কাজ আর ক্ষমতা — ডট গুণনের ভৌত উদাহরণ

শুরুর বাক্সে ফিরে যাও। বল $\vec{F}$ বস্তুকে $\vec{s}$ সরণ ঘটালে কাজ (work):

দুটি ভেক্টর (বল, সরণ) থেকে একটি স্কেলার (কাজ)। 50 N বল 5 m সরণে 60° কোণে থাকলে $W = 50 \times 5 \times \cos 60° = 125$ J — দড়ি সমান্তরাল রাখলে যা হতো (250 J) তার অর্ধেক। তিনটি ক্ষেত্র মনে রাখো:

• ধনাত্মক কাজ: বলের একটা অংশ সরণের দিকে ($\alpha < 90°$) — যেমন বাক্স টানা।
• শূন্য কাজ: বল সরণের লম্ব ($\alpha = 90°$) — যেমন ব্যাগ হাতে সমতল রাস্তায় সমবেগে হাঁটা (হাতের বল ওপরে, সরণ অনুভূমিক), বা বৃত্তাকার কক্ষপথে উপগ্রহের ওপর মহাকর্ষ।
• ঋণাত্মক কাজ: বল সরণের বিপরীত দিকে ঝুঁকে ($\alpha > 90°$) — যেমন ঘর্ষণ বল (friction), বা ওপরে ছোড়া বলের ওপর অভিকর্ষ।

আরও কয়েকটি ভৌত রাশি যা দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল:

• ক্ষমতা (power): $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$
• চৌম্বক ফ্লাক্স (magnetic flux): $\Phi = \vec{B}\cdot\vec{A}$ — এখানে $\vec{A}$ ক্ষেত্র ভেক্টর (area vector)
• তড়িৎ দ্বিমেরুর বিভব শক্তি (dipole energy): $U = -\vec{p}\cdot\vec{E}$

ধাপ ৫: ধর্ম আর উপাংশে ডট গুণন

সংজ্ঞা থেকেই কয়েকটি ধর্ম (properties) আসে:

• বিনিময় (commutative): $\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{B}\cdot\vec{A}$ — কারণ $AB\cos\alpha = BA\cos\alpha$।
• বণ্টন (distributive): $\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C}) = \vec{A}\cdot\vec{B} + \vec{A}\cdot\vec{C}$।
• নিজের সাথে: $\vec{A}\cdot\vec{A} = AA\cos 0° = A^2$, অর্থাৎ $A = \sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}}$।
• একক ভেক্টর (unit vectors): $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$-এর মান 1 আর এরা পরস্পর লম্ব, তাই

এবার $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ আর $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ বণ্টন নিয়মে গুণ করো। মোট 9টি পদ আসে; আড়াআড়ি 6টি ($\hat{i}\cdot\hat{j}$ ইত্যাদি) শূন্য, থাকে শুধু মিলে যাওয়া 3টি:

মিলিয়ে গুণ করো, তারপর যোগ — কোণ জানার দরকারই নেই। নিচে উপাংশ বদলে দেখো, তিনটি গুণফলের যোগ আর $AB\cos\theta$ সবসময় মেলে:

ধাপ ৬: দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ

দুই সূত্র মিলিয়ে কোণ বের হয়:

উদাহরণ: $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ ও $\vec{B} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$-এর মধ্যবর্তী কোণ।

ডট গুণফল ধনাত্মক কিন্তু খুব ছোট — তাই কোণ সূক্ষ্ম, প্রায় 90°। cos⁻¹-এর আগে চিহ্ন দেখে নিলেই বোঝা যায় কোণ সূক্ষ্ম (+), সমকোণ (0) না স্থূল (−)।

ধাপ ৭: প্রয়োগ

ক) অজানা উপাংশ। $\vec{A} = 2\hat{i} + m\hat{j} + \hat{k}$ আর $\vec{B} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 8\hat{k}$ লম্ব হলে $m$ কত? লম্ব মানে $\vec{A}\cdot\vec{B} = 0$:

খ) যোগফল আর বিয়োগফল কখন লম্ব? বণ্টন নিয়মে খুলে দেখো ($\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{B}\cdot\vec{A}$ বলে মাঝের দুটি পদ কাটা যায়):

তাই $(\vec{A}+\vec{B}) \perp (\vec{A}-\vec{B})$ হবে ঠিক তখনই, যখন $|\vec{A}| = |\vec{B}|$। যেমন $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ আর $\vec{B} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ — দুটির মানই $\sqrt{14}$। জ্যামিতিতে: সমান বাহুর সামান্তরিক (রম্বস, rhombus)-এর দুই কর্ণ পরস্পর লম্ব।

গ) অর্ধবৃত্তের কোণ সমকোণ। কেন্দ্র O, ব্যাসার্ধ $r$, ব্যাসের দুই প্রান্ত $\vec{a}$ ও $-\vec{a}$ অবস্থানে, আর বৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু P-এর অবস্থান $\vec{p}$, যেখানে $|\vec{p}| = |\vec{a}| = r$। P থেকে দুই প্রান্তের দিকে ভেক্টর $\vec{a} - \vec{p}$ ও $-\vec{a} - \vec{p}$:

ডট গুণফল শূন্য, তাই P-তে কোণ 90° — বিন্দু P বৃত্তের যেখানেই থাকুক। (লব্ধির পাঠে এটি এঁকে দেখেছিলে; এখানে দুই লাইনে প্রমাণ।)

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ল্যাবে তিনটি মোড:

• সমতলে (2D): A আর B-এর মাথা গ্রিডে টেনে দেখো A·B, কোণ, দুই দিকের অভিক্ষেপ আর লম্ব-নির্দেশক (perpendicular indicator) কীভাবে বদলায়।
• উপাংশে (3D): ঘরে উপাংশ লেখো — বোর্ডের এখানকার যেকোনো প্রশ্ন নিজে যাচাই করতে পারবে। ছবিটি A আর B যে সমতলে আছে সেই সমতল থেকে দেখানো।
• কাজ (work): একটি ধ্রুব বল F আর তিন অংশের একটি পথ। প্রতিটি অংশের কাজ আলাদা দেখাবে; মোট কাজ আর $\vec{F}\cdot\vec{s}_{\text{net}}$ মিলিয়ে দেখো।

চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে প্রতিটি মাপ পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) রাখো।

ঘরে বসে পরীক্ষা: কোণে টেনে ব্যাগ সরাও

তোমার লাগবে: একটি লাগেজ স্কেল (ঝোলানো ওজন মাপার যন্ত্র, luggage scale) বা স্প্রিং নিক্তি, একটি হালকা ব্যাগ (2–3 kg বই), একটি দড়ি বা ফিতা, আর ফোনে একটি কোণ মাপার (protractor/inclinometer) অ্যাপ।

1. মসৃণ মেঝেতে 2 m দূরত্ব চিহ্নিত করো। দড়ি ব্যাগে বেঁধে, অন্য প্রান্তে লাগেজ স্কেল লাগাও।
2. দড়ি মেঝের প্রায় সমান্তরাল (0°) রেখে ব্যাগটি ধীরে, সমবেগে টেনে নাও; স্কেলের পাঠ লেখো। ফোন দড়ির গায়ে রেখে কোণ মাপো।
3. একই কাজ 30° আর 60° কোণে করো। প্রতিবার $F$ আর $F\cos\alpha$ হিসাব করো, আর 2 m-এ দড়ির কাজ $W = F \times 2 \times \cos\alpha$ (স্কেল kg দেখালে ×9.8 করে N বানাও)।
4. লক্ষ করো: কোণ বাড়লে মোট টান $F$ বাড়ে, কিন্তু কাজে লাগা অংশ $F\cos\alpha$ প্রায় একই থাকে (একটু কমতেও পারে — দড়ির খাড়া অংশ ব্যাগকে সামান্য তুলে ধরে, তাই মেঝের ঘর্ষণ কমে)। কেন এমন হয়, খাতায় লেখো।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. স্কেলার গুণনের সংজ্ঞা দাও। দেখাও যে $\hat{i}\cdot\hat{i} = 1$ এবং $\hat{i}\cdot\hat{j} = 0$।

২. $a$-এর কোন মানের জন্য $\vec{P} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{Q} = 2a\hat{i} + a\hat{j} - 4\hat{k}$ পরস্পর লম্ব হবে?

৩. $2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরের ওপর $4\hat{j} + 5\hat{k}$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় করো। (বুয়েট ধরনের)

৪. $\vec{F} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ N বল একটি বস্তুকে (1, 2, 3) m বিন্দু থেকে (4, −1, 5) m বিন্দুতে সরায়। (ক) বলের কাজ কত? (খ) বস্তুর বেগ $\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ m/s হলে ওই মুহূর্তে ক্ষমতা কত?

৫. (MCQ) $2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ ও $6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত? (ক) 45° (খ) 60° (গ) 79°1′ (ঘ) 87.8°

৬. (সৃজনশীল) তিনটি বিন্দু P(1, 2, −1), Q(−2, 1, 1) ও R(3, 1, −2)। (ক) $\vec{OP}$-এর ওপর $\vec{OQ}$-এর অভিক্ষেপ নির্ণয় করো। (খ) PQR ত্রিভুজটি কি সমকোণী? গাণিতিকভাবে যাচাই করো।