পাঠ ১১ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.১১–২.১২.৩

ভেক্টর ক্যালকুলাস: অবকলন, সমাকলন, বেগ ও ত্বরণVector calculus: differentiation, integration, velocity & acceleration

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৭ — ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক: i, j, k, অবস্থান ভেক্টর ও দিক কোসাইন (3D)

একটি কণার অবস্থান সময়ের সাথে বদলায়: $\vec{r}(t) = (t^2 - 1)\hat{i} + 2t\,\hat{j}$ মিটার। নিচে ▶ চাপো বা সময়ের স্লাইডার টানো — কণাটি নিজেই তার পথ আঁকবে, সাথে নীল বেগের তীর আর সবুজ ত্বরণের তীর:

সময় t (time)

সময় t-2.40 s

বেগ (velocity)(-4.80, 2.00)

ত্বরণ (acceleration)(2.00, 0.00)

v ও a-এর কোণ (angle)157.4°

নীল বেগের তীর সবসময় হলুদ পথের গা ঘেঁষে (স্পর্শক বরাবর) থাকে, অথচ সবুজ ত্বরণ সবসময় ডান দিকে। কেন?

পথটি বাঁকছে, তবু নীল তীরটি কখনো পথ ছেড়ে বাইরে যায় না — সবসময় পথের গা ঘেঁষে থাকে। আর সবুজ ত্বরণ সারাক্ষণ একই দিকে, ডানে। কেন? উত্তর দেবে ভেক্টরের অবকলন (differentiation)। আর উল্টো কাজ — ছোট ছোট টুকরো জুড়ে মোট পাওয়া — হলো সমাকলন (integration)।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

ক্যালকুলাস এক নজরে: অবকলন মানে হার (rate), সমাকলন মানে যোগফল (sum)
ভেক্টরের অবকলন (derivative of a vector) — Δr থেকে dr
বেগ (velocity) আর ত্বরণ (acceleration): $\vec{v} = d\vec{r}/dt$ , $\vec{a} = d\vec{v}/dt$
গুণফলের অবকলন (product rules): ডট আর ক্রস গুণন
সমাকলন: লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল, কাজ $W = \int F\,dx$
এবার নিজে করে দেখো — অবস্থান–বেগ–ত্বরণ ট্রেসার (position–velocity tracer)

ধাপ ১: ক্যালকুলাস এক নজরে

কোনো রাশি $x$ সময় $t$ -এর সাথে বদলালে, ছোট সময় $\Delta t$ -তে তার পরিবর্তন $\Delta x$ । গড় হার $\Delta x/\Delta t$ । এখন $\Delta t$ -কে ছোট থেকে আরও ছোট করো — যে মানের দিকে অনুপাতটি এগোয়, তা-ই অন্তরক (derivative):

\frac{dx}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}

একে পড়ো “ $t$ -এর সাপেক্ষে $x$ -এর অন্তরক” (derivative of $x$ with respect to $t$ ) — অর্থাৎ $t$ বদলালে $x$ কত দ্রুত বদলায়। লেখচিত্রে এটি বক্ররেখার ওই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল (slope of the tangent)।

সমাকলন (integration) ঠিক উল্টো দিক থেকে আসে: কোনো রাশিকে অনেকগুলো সরু ফালিতে ভাগ করে $f\,\Delta x$ টুকরোগুলো যোগ করো, ফালি যত সরু, যোগফল তত নিখুঁত। সীমায় এই যোগফলই যোগজ (integral) — বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum f(x)\,\Delta x

অবকলন ঢাল মাপে (কত দ্রুত বদলাচ্ছে), সমাকলন সরু ফালি জুড়ে ক্ষেত্রফল মাপে (মোট কতটা জমল)। একটি অন্যটির বিপরীত প্রক্রিয়া (inverse operation)।

এরা একে অপরের বিপরীত (inverse): যেমন $\dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ , আর $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ । আর ঘাতের (power) জন্য একটি কাজের নিয়ম:

\frac{d}{dt}\left(t^n\right) = n\,t^{\,n-1}, \qquad \frac{d}{dt}(\text{const}) = 0

যেমন $\dfrac{d}{dt}(3t^2) = 6t$ । মনে রাখো, এটি শুধু ঘাতের নিয়ম (power rule) — $\sin t$ , $e^t$ , $\ln t$ -এর মতো ফাংশনের নিজস্ব নিয়ম আছে।

নিজে যাচাই করো

x = 5t³ − 2t + 7 হলে dx/dt কত?

ধাপ ২: ভেক্টরের অবকলন

যে ভেক্টর সময়ের সাথে বদলায়, তাকে লেখো $\vec{A}(t) = A_x(t)\,\hat{i} + A_y(t)\,\hat{j} + A_z(t)\,\hat{k}$ । সময় $\Delta t$ -তে পরিবর্তন $\Delta\vec{A}$ নিজেও একটি ভেক্টর; তাকে $\Delta t$ (একটি স্কেলার) দিয়ে ভাগ করে সীমা নিলে পাই ভেক্টরের অন্তরক (derivative of a vector):

\frac{d\vec{A}}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{A}}{\Delta t} = \frac{dA_x}{dt}\,\hat{i} + \frac{dA_y}{dt}\,\hat{j} + \frac{dA_z}{dt}\,\hat{k}

অর্থাৎ প্রতিটি উপাংশ (component) আলাদা করে অন্তরীকরণ করো। এটা চলে কারণ কার্তেসীয় অক্ষে (Cartesian axes) $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ধ্রুব — এদের মান আর দিক কখনো বদলায় না, তাই এদের অন্তরক শূন্য।

এবার অবস্থান ভেক্টর দিয়ে দেখো। P বিন্দুতে কণার অবস্থান $\vec{r}(t)$ , একটু পরে Q বিন্দুতে $\vec{r}(t + \Delta t)$ । সরণ $\Delta\vec{r}$ হলো P থেকে Q পর্যন্ত জ্যা (chord)। Δt ছোট করো:

Δt ছোট করো (shrink Δt)P-এর সময় t

Δt1.600 s

Δr/Δt — গড় বেগ (average velocity)(3.20, 2.00)

v = dr/dt — তাৎক্ষণিক (instantaneous)(1.60, 2.00)

জ্যা ও স্পর্শকের কোণ (angle)19.33°

প্রথম স্লাইডার টেনে Δt ছোট করো — কমলা জ্যা Δr কোন দিকে ঘুরছে দেখো।

Δt যত ছোট, Q তত P-এর কাছে, আর জ্যা Δr ঘুরে ঘুরে P বিন্দুর স্পর্শকের (tangent) ওপর শুয়ে পড়ে। তাই সীমায় $d\vec{r}/dt$ সবসময় পথের স্পর্শক বরাবর — শুরুর প্রশ্নের উত্তর এটাই।

নিজে যাচাই করো

A = 4t²î − 3tĵ + 2k̂ হলে dA/dt কোনটি?

ধাপ ৩: বেগ আর ত্বরণ

অবস্থান ভেক্টরের সময়-অন্তরক বেগ (velocity), আর বেগের সময়-অন্তরক ত্বরণ (acceleration):

\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}, \qquad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}

বেগ পথের স্পর্শক বরাবর, গতির দিকে; এর মান $|\vec{v}|$ হলো দ্রুতি (speed)। ত্বরণ পথের দিকে বাঁধা নয় — বেগ যেদিকে বদলাচ্ছে সেদিকে, বাঁকা পথে বাঁকের ভেতরের দিকে ঝুঁকে।

বেগ (velocity) সবসময় পথের স্পর্শক বরাবর, গতির দিকে। ত্বরণ (acceleration) পথের বাঁকের ভেতরের দিকে ঝুঁকে থাকে — বেগ যেদিকে বদলাচ্ছে সেদিকে।

উদাহরণ (বইয়ের উদাহরণ ২.১০-৩): একটি কণার অবস্থান $x = 3t^2$ , $y = t^2 - 2t$ , $z = 3t - 4$ (মিটারে)। $t = 2$ s-এ বেগ ও ত্বরণ কত?

\vec{v} = 6t\,\hat{i} + (2t - 2)\,\hat{j} + 3\,\hat{k} \;\Rightarrow\; \vec{v}(2) = 12\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}

|\vec{v}| = \sqrt{12^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{157} = 12.53\ \text{m s}^{-1}

\vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} \;(\text{constant}), \qquad |\vec{a}| = \sqrt{40} = 6.32\ \text{m s}^{-2}

শুরুর পরাবৃত্তে $\vec{r} = (t^2 - 1)\hat{i} + 2t\,\hat{j}$ , তাই $\vec{v} = 2t\,\hat{i} + 2\hat{j}$ আর $\vec{a} = 2\hat{i}$ — ত্বরণ ধ্রুব, সবসময় +x দিকে। সেজন্যই সবুজ তীর কখনো ঘোরেনি। পথের সমীকরণ পেতে $t$ বাদ দাও: $y = 2t \Rightarrow t = y/2$ , তাই $x = y^2/4 - 1$ , অর্থাৎ $y^2 = 4(x + 1)$ — একটি পরাবৃত্ত (parabola)।

নিজে যাচাই করো

r = t³î − 6t²ĵ + 5tk̂ হলে t = 3 s-এ বেগ কত?

ধাপ ৪: গুণফলের অবকলন

সাধারণ গুণফলের মতোই ভেক্টরের ডট ও ক্রস গুণফলেরও গুণন নিয়ম (product rule) আছে:

\frac{d}{dt}(\vec{A}\cdot\vec{B}) = \vec{A}\cdot\frac{d\vec{B}}{dt} + \frac{d\vec{A}}{dt}\cdot\vec{B}

\frac{d}{dt}(\vec{A}\times\vec{B}) = \vec{A}\times\frac{d\vec{B}}{dt} + \frac{d\vec{A}}{dt}\times\vec{B}

ক্রস গুণনে ক্রম (order) ঠিক রাখতে হবে — $\vec{A}\times\vec{B} = -\vec{B}\times\vec{A}$ , তাই ক্রম উল্টালে চিহ্ন উল্টে যায়। ডট গুণনে ক্রম বদলালে কিছু হয় না।

উদাহরণ: $\vec{A} = t^2\hat{i} - t\,\hat{j} + (2t + 1)\hat{k}$ , $\vec{B} = 5t\,\hat{i} + t\,\hat{j} - t^3\hat{k}$ । তাহলে $\vec{A}\cdot\vec{B} = 5t^3 - t^2 - 2t^4 - t^3 = 4t^3 - 2t^4 - t^2$ , আর

\frac{d}{dt}(\vec{A}\cdot\vec{B}) = 12t^2 - 8t^3 - 2t, \qquad t = 1 \text{ এ } 12 - 8 - 2 = 2

একটি গুরুত্বপূর্ণ ফল: কোনো ভেক্টরের মান ধ্রুব হলে $\vec{A}\cdot\vec{A} = A^2$ ধ্রুব, তাই

\frac{d}{dt}(\vec{A}\cdot\vec{A}) = 2\vec{A}\cdot\frac{d\vec{A}}{dt} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{d\vec{A}}{dt} \perp \vec{A}

সুষম বৃত্তীয় গতিতে (uniform circular motion) অবস্থান ভেক্টরের মান সবসময় ব্যাসার্ধ — তাই বেগ সবসময় ব্যাসার্ধের লম্ব। একই যুক্তিতে, দ্রুতি ধ্রুব থাকলে ত্বরণ বেগের লম্ব — ত্বরণ তখন শুধু দিক বদলায়।

বৃত্তে ঘোরা কণার অবস্থান ভেক্টরের মান সবসময় ব্যাসার্ধ, তাই তার অবকলন (বেগ) তার সাথে লম্ব। ত্বরণ কেন্দ্রের দিকে — কেন্দ্রমুখী (centripetal)।

নিজে যাচাই করো

একটি কণা সমদ্রুতিতে বৃত্তপথে ঘুরছে। বেগ v আর অবস্থান ভেক্টর r-এর (কেন্দ্র থেকে) মধ্যে কোণ কত?

ধাপ ৫: সমাকলন — লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল

অবকলনের উল্টো পথে হাঁটো। বেগ জানা থাকলে সরণ পাওয়া যায় ছোট ছোট সরণ $\vec{v}\,\Delta t$ যোগ করে — অর্থাৎ বেগ–সময় লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল: $\vec{s} = \int \vec{v}\,dt$ ।

একইভাবে, বল $F$ যদি সরণ $x$ -এর সাথে বদলায় (যেমন স্প্রিং টানলে), তাহলে ছোট সরণ $\Delta x$ -এ কাজ প্রায় $F\,\Delta x$ । সব টুকরো যোগ করে সীমা নিলে কাজ (work):

W = \int_{x_1}^{x_2} F\,dx \quad = \text{ বল–সরণ লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল}

বল ধ্রুব হলে ক্ষেত্রফলটি আয়তক্ষেত্র, $W = F s$ । স্প্রিংয়ে $F = kx$ , ক্ষেত্রফল ত্রিভুজ: $W = \int_0^x kx\,dx = \tfrac{1}{2}kx^2$ । নিচে বল বেছে নাও, ফালির সংখ্যা বাড়াও:

ফালির সংখ্যা N (strips)শেষ বিন্দু x (end)

Σ F Δx — ফালির যোগফল (sum)3.000 J

∫ F dx — আসল কাজ (exact work)6.000 J

ত্রুটি (error)50.00 %

N বাড়াও (স্লাইডার), আর হলুদ বিন্দু টেনে সরণ বদলাও — ফালিগুলো কখন বক্ররেখা পুরো ঢেকে দেয়?

নিজে যাচাই করো

F = 3x² N বল x = 0 থেকে x = 2 m পর্যন্ত কত কাজ করে?

ধাপ ৬: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ট্রেসারে তিনটি ট্যাব:

গতি (motion): তৈরি অবস্থান ভেক্টর বেছে নাও (বইয়ের উদাহরণ, প্রক্ষেপক, বৃত্ত) বা নিজে লেখো চেপে $x(t)$ , $y(t)$ , $z(t)$ -এর সহগ (coefficients, ঘাত 3 পর্যন্ত) বসাও। পথ আঁকা হয় x–y তলে; z উপাংশ সংখ্যায় দেখাবে। সময় টানো বা ▶ চাপো — বেগ, ত্বরণ, দ্রুতি আর v ও a-এর কোণ দেখো; খাতায় লেখো চাপলে মাপগুলো খাতায় উঠবে।
গুণফল (products): দুটি ভেক্টর ফাংশনের $d(\vec{A}\cdot\vec{B})/dt$ আর $d(\vec{A}\times\vec{B})/dt$ — সূত্রে (symbolic) আর সংখ্যাগত (numeric) মান পাশাপাশি।
সমাকলন (∫F dx): বল বেছে ট্রাপিজিয়াম (trapezoid) নিয়মে কাজ বের করো, আর সঠিক মানের সাথে ত্রুটি (error) দেখো।

অবস্থান–বেগ–ত্বরণ ট্রেসার

Position–velocity tracer: d/dt, product rules, ∫F dx

↗

সময় t (time)

r = (t^{2} - 1) i^+ 2 t j^

v = \frac{d r}{d t} = 2 t i^+ 2 j^

a = \frac{d v}{d t} = 2 i^

সময় t-2.40 s

দ্রুতি |v| (speed)5.20

|a|2.00

v ও a-এর কোণ157.4°

r = 4.76 i^- 4.8 j^

v = - 4.8 i^+ 2 j^

a = 2 i^

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

বইয়ের উদা. ২.১০-৩: r = 3t²i + (t² − 2t)j + (3t − 4)k — t = 2 s-এ v আর a বের করো।
গুণফল ট্যাবে A = t²i − tj + (2t+1)k, B = 5ti + tj − t³k নিয়ে t = 1-এ d(A·B)/dt দেখো।
বৃত্ত (circle) বেছে অন্তত তিনটি আলাদা সময়ে r আর v-এর কোণ দেখো।
প্রক্ষেপকে (projectile) কোন সময়ে বেগ ত্বরণের লম্ব? সময় স্লাইডার টেনে খুঁজে বের করো।
সমাকলন ট্যাবে F = 3x², x = 0 থেকে 2 m — কাজ 0.01 J-এর মধ্যে মেলাও (N বাড়াও)।
r = t³i − 6t²j + 5tk — t = 3 s-এ দ্রুতি |v| কত?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। গতি ট্যাবে সময় বেছে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আর অসম্পূর্ণ কথা আছে:

অন্তরকের সংজ্ঞা (পৃ. 108): “t এর সাপেক্ষে x এর পরিবর্তনের হারকে x-এর সাপেক্ষে t-এর অন্তরক dx/dt বলে” — উল্টো লেখা। $dx/dt$ হলো $t$ -এর সাপেক্ষে $x$ -এর অন্তরক।
“অন্তরীকরণের সাধারণ নিয়ম” (পৃ. 108): “ঘাত দিয়ে গুণ করে ঘাত থেকে 1 বিয়োগ” — এটি সব স্কেলারের সাধারণ নিয়ম নয়, শুধু ঘাতের নিয়ম $d(t^n)/dt = nt^{n-1}$ । $\sin t$ বা $e^t$ -এ এভাবে চলে না।
উদাহরণ ২.১০-৩ (পৃ. 109): প্রশ্নে বেগ ও ত্বরণের মান চাওয়া হলেও স্ক্যানে মান পর্যন্ত সমাধান নেই। সঠিক: $|\vec{v}| = \sqrt{157} = 12.53$ m/s, $|\vec{a}| = \sqrt{40} = 6.32$ m/s²।
ডেল (∇) (পৃ. 107): “∇-এরও ভেক্টর ধর্ম রয়েছে”, “∇² একটি স্কেলার রাশি” — ∇ একটি ভেক্টর অপারেটর (operator), কোনো রাশি নয়; $\nabla\cdot\vec{A} \neq \vec{A}\cdot\nabla$ । ∇² একটি স্কেলার অপারেটর। (বিস্তারিত পরের পাঠে।)
গাণিতিক প্রশ্ন 107 (পৃ. 170): $\vec{r} = t^3\hat{i} - 6t^2\hat{j} + 5t\hat{k}$ , $t = 3$ -এ ছাপা উত্তর √468 — এটি ত্বরণের মান ( $|18\hat{i} - 12\hat{j}|$ )। প্রশ্নে দ্রুতি চাইলে উত্তর √2050 = 45.28। কোনটি চাওয়া হয়েছে, প্রশ্ন দেখে মিলিয়ে নাও।

ঘরে বসে পরীক্ষা: মার্বেলের পথে Δr তীর

তোমার লাগবে: একটি লম্বা কার্ডবোর্ডের ফালি, একটি মার্বেল, একটু আটা বা চক-গুঁড়া, আর একটি ফোন (স্লো-মোশন ভিডিও থাকলে ভালো)।

কার্ডবোর্ডের ফালিটি বাঁকিয়ে মেঝেতে একটি বাঁকা নালা (track) বানাও; বই দিয়ে দুই পাশ ঠেকিয়ে রাখো। নালায় হালকা আটা ছিটিয়ে দাও।
একটু উঁচু থেকে মার্বেল ছেড়ে দাও, আর ওপর থেকে ফোনে ভিডিও করো — মার্বেলের দাগ আটায় পথ এঁকে রাখবে।
ভিডিও থামিয়ে থামিয়ে প্রতি কয়েক ফ্রেমে মার্বেলের অবস্থান একটি স্বচ্ছ কাগজে (বা স্ক্রিনশটে) বিন্দু দিয়ে চিহ্নিত করো।
পরপর বিন্দুগুলো তীর দিয়ে জোড়ো — এরা Δr। দেখো: তীরগুলো নালা বরাবর সারি বেঁধে থাকে (বেগ স্পর্শক বরাবর), আর যেখানে মার্বেল জোরে চলে সেখানে তীর লম্বা (সমান ফ্রেম-ব্যবধানে বেশি সরণ = বেশি বেগ)।

নিরাপত্তা: মার্বেল ছোট শিশুদের নাগালের বাইরে রাখো — গিলে ফেলার ঝুঁকি আছে। কাজ শেষে মেঝে থেকে মার্বেল ও আটা পরিষ্কার করো, যাতে কেউ পিছলে না পড়ে।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. ভেক্টরের অন্তরক (derivative of a vector) কাকে বলে? $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ হলে $d\vec{A}/dt$ লেখো। একক ভেক্টরগুলোর অন্তরক কেন আসে না?

উত্তর দেখো

সময় (বা অন্য কোনো স্কেলার) সামান্য $\Delta t$ বদলালে ভেক্টরের পরিবর্তন $\Delta\vec{A}$ ; $\Delta t \to 0$ সীমায় $\Delta\vec{A}/\Delta t$ -এর মানই ভেক্টরের অন্তরক:

\frac{d\vec{A}}{dt} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{A}}{\Delta t} = \frac{dA_x}{dt}\hat{i} + \frac{dA_y}{dt}\hat{j} + \frac{dA_z}{dt}\hat{k}

কার্তেসীয় অক্ষে $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ -এর মান (1) আর দিক দুটোই ধ্রুব, তাই এদের অন্তরক শূন্য — শুধু উপাংশগুলোর অন্তরক থাকে। ফলটিও একটি ভেক্টর।

২. একটি কণার অবস্থান $\vec{r} = 3t^2\hat{i} + (t^2 - 2t)\hat{j} + (3t - 4)\hat{k}$ m। $t = 2$ s-এ কণাটির (ক) বেগ ও দ্রুতি, (খ) ত্বরণ ও তার মান নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

$\vec{v} = 6t\hat{i} + (2t - 2)\hat{j} + 3\hat{k}$ , তাই $\vec{v}(2) = 12\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ; দ্রুতি $\sqrt{144 + 4 + 9} = \sqrt{157} = 12.53$ m s⁻¹।

$\vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j}$ (ধ্রুব); $|\vec{a}| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 6.32$ m s⁻²।

৩. $\vec{A} = t^2\hat{i} - t\hat{j} + (2t + 1)\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 5t\hat{i} + t\hat{j} - t^3\hat{k}$ । (ক) $t = 1$ -এ $\dfrac{d}{dt}(\vec{A}\cdot\vec{B})$ নির্ণয় করো। (খ) $\dfrac{d}{dt}(\vec{A}\times\vec{B})$ বের করো।

উত্তর দেখো

(ক) $\vec{A}\cdot\vec{B} = 5t^3 - t^2 - (2t+1)t^3 = 4t^3 - 2t^4 - t^2$ , তাই অন্তরক $12t^2 - 8t^3 - 2t$ ; $t = 1$ -এ $= 2$ । গুণন নিয়মে $\vec{A}\cdot\dot{\vec{B}} + \dot{\vec{A}}\cdot\vec{B}$ দিয়েও একই আসে।

(খ) $\vec{A}\times\vec{B} = (t^4 - 2t^2 - t)\hat{i} + (t^5 + 10t^2 + 5t)\hat{j} + (t^3 + 5t^2)\hat{k}$ , তাই

\frac{d}{dt}(\vec{A}\times\vec{B}) = (4t^3 - 4t - 1)\hat{i} + (5t^4 + 20t + 5)\hat{j} + (3t^2 + 10t)\hat{k}

৪. প্রমাণ করো: কোনো ভেক্টরের মান ধ্রুব হলে তার অন্তরক ভেক্টরটির লম্ব। সুষম বৃত্তীয় গতিতে এর অর্থ কী?

উত্তর দেখো

$\vec{A}\cdot\vec{A} = A^2 =$ ধ্রুব। দুই পাশে অন্তরীকরণ: $\vec{A}\cdot\dfrac{d\vec{A}}{dt} + \dfrac{d\vec{A}}{dt}\cdot\vec{A} = 2\vec{A}\cdot\dfrac{d\vec{A}}{dt} = 0$ । দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য মানে তারা লম্ব। সুষম বৃত্তীয় গতিতে $|\vec{r}| = R$ ধ্রুব, তাই $\vec{v} \perp \vec{r}$ (বেগ স্পর্শক বরাবর); আবার $|\vec{v}|$ ধ্রুব, তাই $\vec{a} \perp \vec{v}$ — ত্বরণ কেন্দ্রের দিকে।

৫. একটি বল $F = 3x^2$ N একটি বস্তুকে $x = 0$ থেকে $x = 2$ m পর্যন্ত সরায়। কৃতকাজ নির্ণয় করো এবং দেখাও যে এটি F–x লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল। স্প্রিংয়ের ( $F = kx$ ) ক্ষেত্রে কাজের রাশিমালা কী?

উত্তর দেখো

$W = \int_0^2 3x^2\,dx = [x^3]_0^2 = 8$ J। ছোট সরণ $dx$ -এ কাজ $F\,dx$ = সরু ফালির ক্ষেত্রফল; সব ফালির যোগফলই লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল। স্প্রিংয়ে $W = \int_0^x kx\,dx = \tfrac{1}{2}kx^2$ — ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ( $\tfrac{1}{2}\times x \times kx$ )।

৬. (ক) অপারেটর (operator) কী? (খ) একটি কণার অবস্থান $\vec{r} = (t^2 - 1)\hat{i} + 2t\hat{j}$ m। এর গতিপথের সমীকরণ নির্ণয় করো এবং দেখাও যে ত্বরণ ধ্রুব।

উত্তর দেখো

(ক) অপারেটর এমন একটি গাণিতিক নির্দেশ, যা কোনো ফাংশনের ওপর প্রয়োগ করলে নতুন ফাংশন দেয় — নিজে কোনো রাশি নয়। যেমন $\dfrac{d}{dt}$ একটি অপারেটর: $x(t)$ -এর ওপর বসালে পাই $dx/dt$ । ডেল $\nabla$ একটি ভেক্টর অপারেটর।

(খ) $x = t^2 - 1$ , $y = 2t \Rightarrow t = y/2$ , তাই $x = y^2/4 - 1$ , অর্থাৎ $y^2 = 4(x + 1)$ — একটি পরাবৃত্ত। $\vec{v} = 2t\hat{i} + 2\hat{j}$ , $\vec{a} = 2\hat{i}$ — সময়ের ওপর নির্ভর করে না, তাই ত্বরণ ধ্রুব (মান 2 m s⁻², +x দিকে)।