পাঠ ৫ / ১২অনুচ্ছেদ ২.২.১০, ২.২.১৩

আহিত পরিবাহী: গোলকের বিভব, প্রাবল্য ও আধান ঘনত্বCharged conductors: sphere potential, field & charge density

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৩ — তড়িৎ বিভব, বিভব শক্তি ও ইলেকট্রন ভোল্ট, পাঠ ৪ — বিভবের ঢাল ও সমবিভব তল

একটি ফাঁপা ধাতব গোলকে 10 nC চার্জ দেওয়া আছে। একটি প্রোব (probe) দিয়ে দূর থেকে শুরু করে পৃষ্ঠ পেরিয়ে একেবারে কেন্দ্র পর্যন্ত তড়িৎ প্রাবল্য আর বিভব মাপো — নীল বিন্দু P টেনে আনো:

প্রোবের দূরত্ব (distance) r = 40 cm

তড়িৎ প্রাবল্য (field) E562 N/C

তড়িৎ বিভব (potential) V225 V

বাইরে থেকে কেন্দ্রের দিকে প্রোব টানো: E আর V দুটিই বাড়ছে। পৃষ্ঠ পেরোলে কী হয়?

ভেতরে ঢুকতেই প্রাবল্য শূন্য — অথচ বিভব শূন্য তো নয়ই, পৃষ্ঠের মানেই আটকে থাকে। ভেতরে প্রাবল্য শূন্য, তাহলে বিভবও শূন্য নয় কেন? এই পাঠে উত্তরটা ধাপে ধাপে বের করব:

পরিবাহীতে বাড়তি চার্জ কোথায় থাকে — স্থির তড়িৎ সাম্যাবস্থা (electrostatic equilibrium)
আহিত গোলকের বিভব (potential) আর প্রাবল্য (field intensity) — ভেতরে, পৃষ্ঠে, বাইরে
তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব (surface charge density) $\sigma$ আর $E = \sigma/\varepsilon_0$
সূচালো জায়গায় চার্জ বেশি — তার দিয়ে জোড়া দুটি গোলক, বজ্রনিরোধক (lightning rod)
ভূ-সংযোগ (earthing) — পৃথিবীর বিভব কেন শূন্য ধরা হয়
স্থির তড়িৎ আবরণ (electrostatic shielding) — ফ্যারাডে খাঁচা (Faraday cage)
এবার নিজে করে দেখো — আহিত পরিবাহী গোলক ল্যাব

ধাপ ১: পরিবাহীতে চার্জ কোথায় থাকে

আগের পাঠ থেকে মনে করো: তড়িৎ প্রাবল্য $\vec{E}$ মানে একক ধনাত্মক চার্জের ওপর বল, আর বিভব $V$ মানে একক ধনাত্মক চার্জকে অসীম থেকে আনতে করা কাজ। প্রাবল্য আর বিভবের সম্পর্ক $E = -\dfrac{dV}{dr}$ — প্রাবল্য হলো বিভবের ঢাল (potential gradient)।

ধাতুর মতো পরিবাহী (conductor)-তে প্রচুর মুক্ত ইলেকট্রন (free electrons) থাকে, যারা সামান্য বলেই সরে যায়। কোনো পরিবাহীতে বাড়তি চার্জ দিলে কী হয়?

পরিবাহীর ভেতরে কোথাও প্রাবল্য থাকলে মুক্ত ইলেকট্রন সরতেই থাকত। চার্জ যখন থেমে যায় — একে বলে স্থির তড়িৎ সাম্যাবস্থা (electrostatic equilibrium) — তখন ধাতুর ভেতরে সব জায়গায় $E = 0$ ।
সমধর্মী চার্জ পরস্পরকে বিকর্ষণ করে যতদূর সম্ভব সরে যায়, তাই সব বাড়তি চার্জ বাইরের পৃষ্ঠে গিয়ে বসে; ভেতরে নিট চার্জ শূন্য।
ভেতরে $E = 0$ মানে $dV/dr = 0$ — বিভব কোথাও বদলায় না। তাই পুরো পরিবাহী একটি সমবিভব বস্তু (equipotential body), আর তার পৃষ্ঠ একটি সমবিভব তল (equipotential surface)।
পৃষ্ঠ বরাবর প্রাবল্যের কোনো অংশ থাকলে চার্জ পৃষ্ঠ ধরে সরত। তাই পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে $\vec{E}$ সবসময় পৃষ্ঠের লম্ব।

স্থির অবস্থায় পরিবাহীর সব বাড়তি চার্জ বাইরের পৃষ্ঠে থাকে (চার্জের অবস্থান এই পাঠের মডেল থেকে হিসাব করা)। বলরেখা (lines of force) পৃষ্ঠ থেকে লম্বভাবে বেরোয়; সূচালো অংশে চার্জ ঘন, তাই সেখানে বলরেখাও ঘন।

এখানেই হুকের প্রশ্নের উত্তর: প্রাবল্য শূন্য মানে বিভব বদলায় না, শূন্য নয়। পৃষ্ঠে বিভব যা, ভেতরের প্রতিটি বিন্দুতেও ঠিক তা — কারণ ভেতরে একটি পরখ চার্জ (test charge) সরাতে কোনো কাজ লাগে না।

নিজে যাচাই করো

একটি আহিত ধাতব বস্তুর ভেতরে কোনো বিন্দুতে প্রাবল্য শূন্য। ওই বিন্দুর বিভব সম্পর্কে কোনটি সত্য?

ধাপ ২: আহিত গোলকের বিভব ও প্রাবল্য

$R$ ব্যাসার্ধের একটি ধাতব গোলকে $Q$ চার্জ। চার্জ পৃষ্ঠে সুষমভাবে ছড়িয়ে থাকে। গাউসের সূত্র (পাঠ ১২) থেকে দেখা যায়: বাইরের যেকোনো বিন্দুর জন্য গোলকটি এমন আচরণ করে যেন পুরো চার্জ কেন্দ্রে একটি বিন্দু চার্জ (point charge)। কেন্দ্র থেকে $r$ দূরত্বে ( $k = 1/4\pi\varepsilon_0$ ):

অবস্থান	বিভব $V$	প্রাবল্য $E$
বাইরে, $r > R$	$\dfrac{kQ}{r}$	$\dfrac{kQ}{r^2}$
পৃষ্ঠে, $r = R$	$\dfrac{kQ}{R}$	$\dfrac{kQ}{R^2}$ (ঠিক বাইরের পাশে)
ভেতরে, $r < R$	$\dfrac{kQ}{R}$ (পৃষ্ঠের সমান)	$0$

গোলকটি নিরেট (solid) হোক বা ফাঁপা (hollow) — ফল একই, কারণ চার্জ শুধু বাইরের পৃষ্ঠেই থাকে। কোনো মাধ্যমে (পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক, dielectric constant $K$ ) রাখলে $V$ আর $E$ দুটিই $K$ দিয়ে ভাগ হয়: $V = \dfrac{kQ}{Kr}$ ।

সবুজ: ধাতব (পরিবাহী) গোলকের বিভব — ভেতরে সমান, বাইরে 1/r হারে কমে। কমলা: প্রাবল্য — ভেতরে শূন্য, পৃষ্ঠে হঠাৎ সর্বোচ্চ, তারপর 1/r² হারে কমে। ড্যাশ: একই চার্জের সুষম অপরিবাহী গোলক — তার ভেতরে বিভব সমান নয়, কেন্দ্রে 1.5 গুণ।

উদাহরণ (উদা. ২.৫-১ ধরনের): 10 cm ব্যাসার্ধের একটি ধাতব গোলকে 20 C চার্জ। কেন্দ্র থেকে 8 cm আর 12 cm দূরে বিভব কত?

8 cm বিন্দুটি গোলকের ভেতরে, তাই সেখানে বিভব পৃষ্ঠের সমান:

V_{8} = \frac{kQ}{R} = \frac{8.988\times10^{9} \times 20}{0.10} = 1.798\times10^{12}\ \text{V}

V_{12} = \frac{kQ}{r} = \frac{8.988\times10^{9} \times 20}{0.12} = 1.498\times10^{12}\ \text{V}

বোর্ডের মান ( $k = 9\times10^{9}$ ): $1.8\times10^{12}$ V আর $1.5\times10^{12}$ V। (20 C একটি গোলকের জন্য অবাস্তব রকম বড় চার্জ — শুধু হিসাবের অনুশীলন।)

নিজে যাচাই করো

20 cm ব্যাসার্ধের একটি ফাঁপা ধাতব গোলকের পৃষ্ঠের বিভব 500 V। কেন্দ্রে বিভব আর প্রাবল্য কত?

ধাপ ৩: তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব আর $E = \sigma/\varepsilon_0$

পৃষ্ঠের প্রতি একক ক্ষেত্রফলে যে চার্জ থাকে তাকে তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব (surface charge density) বলে, $\sigma = \dfrac{Q}{A}$ , একক C m⁻²। গোলকের জন্য $A = 4\pi R^2$ :

\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}

এখন পৃষ্ঠের ঠিক বাইরের প্রাবল্যকে $\sigma$ দিয়ে লেখো:

E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^2} = \frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

শুধু গোলক নয়, যেকোনো আকারের পরিবাহীর পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$ (মাধ্যমে $\dfrac{\sigma}{K\varepsilon_0}$ ), যেখানে $\sigma$ ওই জায়গার স্থানীয় আধান ঘনত্ব। যেখানে চার্জ ঘন, সেখানে বাইরের প্রাবল্যও বেশি।

উদাহরণ: 30 cm ব্যাসার্ধের গোলকে 9 C চার্জ। $\sigma = \dfrac{9}{4\pi(0.30)^2} = 7.96$ C m⁻², আর পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে $E = \dfrac{7.96}{8.854\times10^{-12}} = 8.99\times10^{11}$ N C⁻¹।

নিজে যাচাই করো

20 cm ব্যাসের একটি ধাতব গোলকে 12.56 μC চার্জ। তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব কত?

ধাপ ৪: সূচালো জায়গায় চার্জ বেশি

গোলক নিখুঁত প্রতিসম, তাই তার σ সব জায়গায় সমান। কিন্তু অন্য আকারে? নিচে একটি ধাতব খণ্ডের ভেতরে চার্জ ঢালো আর দেখো তারা পরস্পরকে ঠেলে কোথায় গিয়ে থামে। তিনটি আকারই চেষ্টা করো:

আকার বেছে নাও, তারপর “চার্জ ঢালো” চাপো। চার্জগুলো প্রথমে ধাতুর ভেতরে মাঝখানে জড়ো থাকবে।

চার্জ সব সময় পৃষ্ঠে যায়, কিন্তু যেখানে পৃষ্ঠ বেশি বাঁকা (বক্রতা বেশি, sharply curved) — সূচালো মাথায় — সেখানে σ সবচেয়ে বেশি, আর চ্যাপ্টা বা খাঁজের জায়গায় কম।

কেন? একটি সহজ মডেল: দুটি আলাদা ধাতব গোলক (ব্যাসার্ধ $R_1$ , $R_2$ ) একটি সরু তার দিয়ে জোড়া। তার দিয়ে চার্জ ততক্ষণ চলে যতক্ষণ না দুই গোলকের বিভব সমান হয় (পরিবাহী একটাই সমবিভব বস্তু):

\frac{kQ_1}{R_1} = \frac{kQ_2}{R_2} \;\Rightarrow\; \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_1}{R_2}

\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q_1/4\pi R_1^2}{Q_2/4\pi R_2^2} = \frac{R_1}{R_2}\cdot\frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{R_2}{R_1}

অর্থাৎ ছোট গোলক চার্জ কম পায়, কিন্তু তার $\sigma$ বেশি — $\sigma \propto 1/R$ । একটি সূচালো মাথা হলো খুব ছোট $R$ -এর একটি “গোলক”, তাই সেখানে σ আর $E = \sigma/\varepsilon_0$ বিশাল:

R₁ = 2 cmR₂ = 6 cmমোট আধান (total charge) Q = 40 nC

সাধারণ বিভব (common potential) V4494 Vদুই গোলকেই এক

আধান Q₁ : Q₂10 : 30 nC= R₁ : R₂ = 2 : 6

আধান ঘনত্ব σ₁ : σ₂ (C/m²)1.99 × 10⁻⁶ : 6.63 × 10⁻⁷= R₂ : R₁ = 6 : 2

ছোট গোলকটি (১) চার্জ কম পায়, কিন্তু তার তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব σ বেশি — ছোট গোলক মানে বেশি বাঁকা তল। তাই সূচালো জায়গায় চার্জ ঘন হয়। (মডেল: গোলক দুটি অনেক দূরে, একে অপরকে প্রভাবিত করে না।)

এর ব্যবহার আর বিপদ দুটিই আছে:

কোরোনা ক্ষরণ (corona discharge): সূচালো মাথায় প্রাবল্য বাতাসের ভাঙন-সীমা (প্রায় $3\times10^{6}$ V m⁻¹) ছাড়ালে আশপাশের বাতাস আয়নিত হয়ে চার্জ ঝরে যায় — অন্ধকারে মৃদু আলো, হিস্‌হিস্‌ শব্দ। তাই উচ্চ-ভোল্টেজ যন্ত্রের প্রান্ত গোল আর মসৃণ রাখা হয়।
বজ্রনিরোধক (lightning rod): দালানের মাথায় সূচালো ধাতব দণ্ড, মোটা তার দিয়ে মাটিতে যুক্ত। দণ্ডের মাথায় প্রবল প্রাবল্য মেঘের চার্জকে ধীরে প্রশমিত করে, আর বাজ পড়লে বিদ্যুৎ নিরাপদ পথে মাটিতে যায়।

নিজে যাচাই করো

2 cm আর 4 cm ব্যাসার্ধের দুটি দূরবর্তী ধাতব গোলক তার দিয়ে জোড়া, মোট চার্জ 12 nC। কোনটি সত্য?

ধাপ ৫: ভূ-সংযোগ — পৃথিবীর বিভব শূন্য কেন?

কোনো পরিবাহীকে তার দিয়ে মাটির সাথে যুক্ত করাকে ভূ-সংযোগ (earthing) বলে; তখন বস্তুটি ভূ-সংযুক্ত (earthed)। ধাপ ৪-এর যুক্তিই এখানে: তার দিয়ে জুড়লে দুটি পরিবাহী এক বিভবে আসে। পৃথিবী একটি বিশাল পরিবাহী গোলক — তার ধারকত্ব (capacitance, পাঠ ৭)

C_\text{E} = 4\pi\varepsilon_0 R_\text{E} = \frac{6.371\times10^{6}}{8.988\times10^{9}} = 7.09\times10^{-4}\ \text{F} \approx 709\ \mu\text{F}

তাই পৃথিবীতে 1 C চার্জ ঢাললেও তার বিভব বদলায় মাত্র $\Delta V = Q/C_\text{E} \approx 1.4$ kV — ছোট একটি গোলকের সাথে তুলনায় এত সামান্য যে বাস্তবে পৃথিবীর বিভব কার্যত স্থির। এজন্য পৃথিবীর বিভবকে শূন্য ধরে নেওয়া হয় — এটি একটি সুবিধাজনক তুলনা-বিন্দু (reference), চার্জ বদলায় না বলে নয়।

ফলাফল: একটি বিচ্ছিন্ন আহিত গোলককে ভূ-সংযুক্ত করলে তার বিভব শূন্য হয়, আর $Q = CV$ বলে তার চার্জও (প্রায় পুরোটা) মাটিতে চলে যায়।

নিজে যাচাই করো

একটি ধনাত্মক আহিত বিচ্ছিন্ন ধাতব গোলককে তার দিয়ে মাটির সাথে যুক্ত করা হলো। কী ঘটবে?

ধাপ ৬: স্থির তড়িৎ আবরণ — ফ্যারাডে খাঁচা

একটি বন্ধ ফাঁপা ধাতব খোলকে বাইরের তড়িৎক্ষেত্রে রাখো। বাইরের ক্ষেত্র খোলের মুক্ত ইলেকট্রনকে এক পাশে ঠেলে দেয় — এক পাশে − আর অন্য পাশে + প্রেরিত চার্জ (induced charge) জমে। এই চার্জগুলো ঠিক এমনভাবে সাজে যে খোলের ভেতরে তাদের ক্ষেত্র বাইরের ক্ষেত্রকে পুরোপুরি বাতিল করে। ফল: বন্ধ পরিবাহী খোলের ভেতরের ফাঁপা জায়গা প্রাবল্যমুক্ত, বাইরের ক্ষেত্র যা-ই হোক। একে স্থির তড়িৎ আবরণ (electrostatic shielding) বলে, আর এমন খোলকে ফ্যারাডে খাঁচা (Faraday cage)।

বজ্রপাতের সময় ধাতব বডির গাড়ি বা বাসের ভেতরে থাকা তুলনামূলক নিরাপদ (জানালা বন্ধ রেখে, ধাতব অংশ না ছুঁয়ে) — টায়ারের জন্য নয়, ধাতব খোলের জন্য।
টিভি/ইন্টারনেটের কো-অ্যাক্সিয়াল তার (coaxial cable)-এ ভেতরের তারকে ঘিরে ধাতব জাল থাকে — বাইরের বৈদ্যুতিক গোলমাল ঢুকতে পারে না।
ধাতব লিফটের ভেতরে প্রায়ই মোবাইলের নেটওয়ার্ক দুর্বল হয়ে যায় — একই কারণে (রেডিও তরঙ্গের জন্যও ধাতব খোল আবরণের কাজ করে)।

সিমুলেশনের “ফ্যারাডে খাঁচা” ট্যাবে এটি নিজে দেখবে।

নিজে যাচাই করো

একটি সংবেদনশীল যন্ত্রকে বাইরের স্থির তড়িৎক্ষেত্র থেকে বাঁচাতে কোনটি সবচেয়ে কার্যকর?

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ল্যাবে তিনটি ট্যাব:

গোলক (sphere): ব্যাসার্ধ $R$ , আধান $Q$ (nC, μC বা C) আর মাধ্যমের $K$ ঠিক করো; প্রোব সরিয়ে লেখচিত্রে $V(r)$ আর $E(r)$ দেখো। প্রতিটি মাপ পাশে বোর্ডের মানসহ (k = 9 × 10⁹) দেখাবে। খাতায় লেখো চাপলে মাপটি পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) যাবে।
দুটি গোলক (two spheres): তার দিয়ে জোড়া দুটি গোলকে চার্জ ভাগাভাগি।
ফ্যারাডে খাঁচা (Faraday cage): বাইরের সুষম ক্ষেত্রে ধাতব কৌটা আর একটি ইলেকট্রোস্কোপ (electroscope)। কৌটাটি গোল প্রস্থচ্ছেদ (cross-section) হিসেবে আঁকা।

সব চ্যালেঞ্জ শেষ করো — প্রতিটির নিচে “কেন” ব্যাখ্যা খুলবে।

আহিত পরিবাহী গোলক ল্যাব

Charged conductor sphere lab

↗

ব্যাসার্ধ (radius) R, cmআধান (charge) Q

মাধ্যম (medium) K = 1

প্রোব (probe) rr, cm

বিভব (potential) V449.4 Vবোর্ডের মান (k = 9 × 10⁹): 450 V

প্রাবল্য (field) E2247 N/Cবোর্ডের মান: 2250 N/C

আধান ঘনত্ব (surface charge density) σ7.958 × 10⁻⁸ C/m²পৃষ্ঠে E = σ/(Kε₀) = 8988 N/C

ধারকত্ব (capacitance) C = 4πε₀KR1.113 × 10⁻¹¹ Fপ্রোব গোলকের বাইরে

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

R = 10 cm, Q = 20 C: কেন্দ্র থেকে 8 cm আর 12 cm দূরে বিভব মেপে খাতায় লেখো।
30 cm ব্যাসার্ধের গোলকে 9 C চার্জ দাও। তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব σ কত?
0.24 m ব্যাসের গোলক (R = 12 cm), 33.3 nC: 50 cm আর 6 cm দূরে V ও E খাতায় লেখো।
প্রোব সরিয়ে খুঁজে বের করো: প্রাবল্য E কোথায় সবচেয়ে বেশি?
“দুটি গোলক” ট্যাবে 2 cm আর 4 cm-এর গোলক তার দিয়ে জোড়ো। কোনটির σ বেশি?
“ফ্যারাডে খাঁচা” ট্যাবে বাইরের ক্ষেত্র থেকে ইলেকট্রোস্কোপটিকে আড়াল করো।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

“গোলক” ট্যাবে প্রোব বসিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে দুটি বিভ্রান্তিকর কথা আছে:

পৃ. 97: “গোলকের অভ্যন্তরে সর্বত্র বিভব এর পৃষ্ঠের বিভবের সমান” — কথাটি শুধু ধাতব (পরিবাহী) গোলক (নিরেট বা ফাঁপা) বা পাতলা আহিত খোলের জন্য সত্য। সুষমভাবে আহিত অপরিবাহী গোলকের ভেতরে বিভব পৃষ্ঠের চেয়ে বেশি, $V = \dfrac{kQ(3R^2 - r^2)}{2R^3}$ — কেন্দ্রে পৃষ্ঠের 1.5 গুণ (ধাপ ২-এর লেখচিত্রের ড্যাশ রেখা)। উত্তরে সবসময় “ধাতব গোলক” লেখো।
পৃ. 100: “পৃথিবী একটি বিরাট পরিবাহী বলে এর চার্জের কোনো পরিবর্তন হয় না” — ভুল। চার্জ দিলে বা নিলে পৃথিবীর চার্জ ঠিকই বদলায়; বদলায় না (প্রায়) তার বিভব, কারণ তার ধারকত্ব বিশাল (≈ 709 μF)। আর শূন্য বিভব একটি বেছে নেওয়া তুলনা-বিন্দু।
সাধারণ সতর্কতা: বইয়ের কিছু হিসাবে $k = 9\times10^{9}$ আর $\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ একসাথে মেশানো, তাই তৃতীয় অঙ্কে উত্তর একটু সরে যায়। এই পাঠে CODATA মান ( $k = 8.988\times10^{9}$ ) দিয়ে হিসাব, পাশে বোর্ডের মান।

ঘরে বসে পরীক্ষা: টিফিন বাক্সের ফ্যারাডে খাঁচা

তোমার লাগবে: একটি প্লাস্টিকের স্বচ্ছ কাপ (ঢাকনাসহ), একটি কাগজের ক্লিপ, রান্নাঘরের অ্যালুমিনিয়াম ফয়েল, একটি বেলুন, আর ঢাকনাসহ একটি স্টিলের টিফিন বাক্স বা বিস্কুটের টিন।

ফয়েল-পাতা তড়িৎবীক্ষণ যন্ত্র (foil-leaf electroscope): কাগজের ক্লিপ সোজা করে একটি হুক বানাও, কাপের ঢাকনা ফুটো করে ঢোকাও। হুকের নিচে ফয়েলের দুটি সরু ফালি (প্রায় 1 cm × 4 cm) ঝুলিয়ে দাও, ওপরে ক্লিপের মাথায় ফয়েলের একটি ছোট বল। ঢাকনা কাপে লাগাও।
বেলুন ফুলিয়ে শুকনো চুলে বা উলের কাপড়ে ঘষে আহিত করো। ফয়েলের বলের কাছে আনো (ছোঁয়াবে না) — পাতা দুটি ফাঁক হয়ে যাবে। সরালে আবার বুজে যাবে।
এবার ইলেকট্রোস্কোপটি স্টিলের টিফিন বাক্সে ঢুকিয়ে ঢাকনা বন্ধ করো (কাপটা বাক্সের ধাতু যেন না ছোঁয়)। একটি পাশ সামান্য খোলা রেখে ফাঁক দিয়ে দেখো, আর বাক্সের বাইরে আহিত বেলুনটি ঘোরাও — পাতা প্রায় নড়বেই না।
একই কাজ একটি প্লাস্টিকের বাক্স দিয়ে করো। পার্থক্য খাতায় লেখো, আর কেন হলো তা ধাপ ৬ দিয়ে ব্যাখ্যা করো।
(ঐচ্ছিক) একটি মোবাইল ফোন দুই স্তর ফয়েলে ভালোভাবে মুড়ে অন্য ফোন থেকে কল করো — প্রায়ই কল ঢোকে না।

নিরাপত্তা: শুধু ঘষে তৈরি স্থির তড়িৎ (বেলুন, চিরুনি) ব্যবহার করো। কখনো বিদ্যুতের লাইন (mains), মশা মারার ব্যাট বা স্টান-যন্ত্র দিয়ে পরীক্ষা করবে না। মাইক্রোওভেনকে “খাঁচা” হিসেবে ব্যবহার করবে না, আর ফ্যান, টিভি, মাইক্রোওভেনের মতো যন্ত্র খুলবে না — প্লাগ খোলার পরেও ভেতরের ধারকে বিপজ্জনক চার্জ থাকতে পারে। মোড়ানো ফোন বেশিক্ষণ রেখো না, গরম হতে পারে।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. একই ব্যাসার্ধের একটি নিরেট আর একটি ফাঁপা ধাতব গোলককে একই বিভবে আহিত করা হলো। কোনটিতে চার্জ বেশি? ব্যাখ্যা করো।

উত্তর দেখো

দুটিতেই সমান চার্জ। পরিবাহীর সব বাড়তি চার্জ বাইরের পৃষ্ঠে থাকে, ভেতরের ধাতু কোনো ভূমিকা রাখে না। দুই গোলকের বাইরের পৃষ্ঠ একই ( $4\pi R^2$ ), তাই একই $Q$ -এর জন্য একই বিভব $V = kQ/R$ । অন্যভাবে: গোলকের ধারকত্ব $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ শুধু ব্যাসার্ধের ওপর নির্ভর করে, তাই $Q = CV$ দুটিতেই সমান।

২. 10 cm ব্যাসার্ধের একটি ধাতব গোলকে 20 C চার্জ দেওয়া হলো। কেন্দ্র থেকে (ক) 8 cm ও (খ) 12 cm দূরে বিভব নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

(ক) 8 cm < R, বিন্দুটি ভেতরে, তাই বিভব পৃষ্ঠের সমান: $V = \dfrac{kQ}{R} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times20}{0.10} = 1.798\times10^{12}$ V (বোর্ডের মান $1.8\times10^{12}$ V)।

(খ) 12 cm > R: $V = \dfrac{kQ}{r} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times20}{0.12} = 1.498\times10^{12}$ V (বোর্ডের মান $1.5\times10^{12}$ V)।

ভেতরের বিন্দুর জন্য $r = 0.08$ বসিয়ে $kQ/r$ লিখলে ( $2.25\times10^{12}$ V) ভুল হবে।

৩. 0.24 m ব্যাসের একটি ধাতব গোলকে 33.3 nC চার্জ। কেন্দ্র থেকে (ক) 0.5 m ও (খ) 0.06 m দূরে বিভব ও প্রাবল্য নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

$R = 0.12$ m।

(ক) $r = 0.5$ m (বাইরে): $V = \dfrac{kQ}{r} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times33.3\times10^{-9}}{0.5} = 598.6$ V, $\;E = \dfrac{kQ}{r^2} = 1197$ N C⁻¹। বোর্ডের মান: 599.4 V, 1198.8 N C⁻¹।

(খ) $r = 0.06$ m (ভেতরে): $E = 0$ , আর $V = \dfrac{kQ}{R} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times33.3\times10^{-9}}{0.12} = 2494$ V (বোর্ডের মান 2497.5 V)।

৪. (MCQ) 15 cm ব্যাসার্ধের একটি ফাঁপা ধাতব গোলকে 10 টি 20 C চার্জ দেওয়া হলো। কেন্দ্র থেকে 5 cm দূরে বিভব কত? ( $k = 9\times10^{9}$ ) (ক) 0 (খ) $3.6\times10^{13}$ V (গ) $1.2\times10^{13}$ V (ঘ) $7.2\times10^{14}$ V

উত্তর দেখো

(গ)। মোট চার্জ 200 C; 5 cm বিন্দুটি ভেতরে, তাই $V = \dfrac{kQ}{R} = \dfrac{9\times10^{9}\times200}{0.15} = 1.2\times10^{13}$ V (CODATA দিয়ে $1.198\times10^{13}$ V)। (খ) আসে ভুল করে $r = 0.05$ বসালে; (ক) আসে “ভেতরে E = 0 তাই V = 0” ভাবলে।

৫. (MCQ) একটি আহিত পরিবাহীর কোথায় তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব সবচেয়ে বেশি? (ক) সমতল অংশে (খ) সবচেয়ে উত্তল ও সূচালো অংশে (গ) অবতল খাঁজে (ঘ) সব জায়গায় সমান

উত্তর দেখো

(খ)। তার দিয়ে জোড়া দুটি গোলকের যুক্তিতে $\sigma \propto 1/R$ — যেখানে বক্রতার ব্যাসার্ধ সবচেয়ে ছোট (সূচালো মাথা), সেখানে σ আর $E = \sigma/\varepsilon_0$ সবচেয়ে বেশি। গোলক হলে শুধু (ঘ) সত্য হতো।

৬. (সৃজনশীল) 2 cm ও 4 cm ব্যাসার্ধের দুটি ধাতব গোলক অনেক দূরে রাখা। প্রথমটিতে 12 nC চার্জ দিয়ে দ্বিতীয়টির সাথে একটি সরু তার দিয়ে যুক্ত করা হলো। (ক) তলমাত্রিক আধান ঘনত্বের সংজ্ঞা দাও। (খ) পরিবাহীর ভেতরে প্রাবল্য শূন্য হলেও বিভব শূন্য নয় কেন? (গ) যুক্ত করার পর প্রতিটি গোলকের চার্জ ও সাধারণ বিভব নির্ণয় করো। (ঘ) কোন গোলকের পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে প্রাবল্য বেশি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর দেখো

(ক) পরিবাহীর পৃষ্ঠের প্রতি একক ক্ষেত্রফলে যে পরিমাণ চার্জ থাকে, তাকে তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব বলে: $\sigma = Q/A$ , একক C m⁻²।

(খ) $E = -dV/dr$ । ভেতরে $E = 0$ মানে বিভবের ঢাল শূন্য — বিভব ধ্রুব, শূন্য নয়। পৃষ্ঠের বিভব $kQ/R$ , ভেতরে পরখ চার্জ সরাতে কোনো কাজ লাগে না, তাই ভেতরের প্রতিটি বিন্দুর বিভবও $kQ/R$ ।

(গ) বিভব সমান হওয়া পর্যন্ত চার্জ চলে: $Q_1/R_1 = Q_2/R_2$ , আর $Q_1 + Q_2 = 12$ nC। তাই $Q_1 = 12 \times \dfrac{2}{6} = 4$ nC, $Q_2 = 8$ nC।

V = \frac{kQ_1}{R_1} = \frac{8.988\times10^{9}\times4\times10^{-9}}{0.02} = 1798\ \text{V}

(বোর্ডের মান 1800 V; যাচাই: $kQ_2/R_2$ একই।)

(ঘ) $E_1 = \dfrac{kQ_1}{R_1^2} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times4\times10^{-9}}{(0.02)^2} = 8.99\times10^{4}$ N C⁻¹, $\;E_2 = \dfrac{8.988\times10^{9}\times8\times10^{-9}}{(0.04)^2} = 4.49\times10^{4}$ N C⁻¹।

$\dfrac{E_1}{E_2} = \dfrac{\sigma_1}{\sigma_2} = \dfrac{R_2}{R_1} = 2$ — ছোট গোলকের পৃষ্ঠে প্রাবল্য দ্বিগুণ, যদিও তার চার্জ অর্ধেক। এজন্যই সূচালো প্রান্ত থেকে কোরোনা ক্ষরণ শুরু হয়, আর বজ্রনিরোধকের মাথা সূচালো রাখা হয়।

আহিত পরিবাহী: গোলকের বিভব, প্রাবল্য ও আধান ঘনত্বCharged conductors: sphere potential, field & charge density

ধাপ ১: পরিবাহীতে চার্জ কোথায় থাকে

ধাপ ২: আহিত গোলকের বিভব ও প্রাবল্য

ধাপ ৩: তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব আর E=σ/ε0E = \sigma/\varepsilon_0E=σ/ε0​

ধাপ ৪: সূচালো জায়গায় চার্জ বেশি

ধাপ ৫: ভূ-সংযোগ — পৃথিবীর বিভব শূন্য কেন?

ধাপ ৬: স্থির তড়িৎ আবরণ — ফ্যারাডে খাঁচা

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

চ্যালেঞ্জ (challenges)

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

ঘরে বসে পরীক্ষা: টিফিন বাক্সের ফ্যারাডে খাঁচা

পরীক্ষার প্রস্তুতি

ধাপ ৩: তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব আর $E = \sigma/\varepsilon_0$