পাঠ ৩ / ১২অনুচ্ছেদ ২.২.৯, ২.২.১১, ২.২.১৪

তড়িৎ বিভব, বিভব শক্তি ও ইলেকট্রন ভোল্টElectric potential, potential energy & the electron-volt

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ১ — আধান ও কুলম্বের সূত্র, পাঠ ২ — তড়িৎ ক্ষেত্র, প্রাবল্য ও বলরেখা

দুটি ধনাত্মক চার্জ পরস্পরকে বিকর্ষণ করে। তাহলে একটি + চার্জকে আরেকটি + চার্জের কাছে ঠেলে আনতে তোমাকে কাজ করতে হবে — ঠিক যেমন পাহাড়ের ঢালে বল ঠেলে তুলতে হয়। নিচে হলুদ চার্জটি টেনে মাঝের +Q-এর দিকে নাও, তারপর ছেড়ে দাও। আর A থেকে B-তে দুটি আলাদা পথে নিয়ে গিয়ে কাজ মিলিয়ে দেখো:

তোমার কাজ = জমা শক্তি (stored energy) U, A থেকে মাপা0 mJ

গতিশক্তি (kinetic energy)0 mJ

পথের দৈর্ঘ্য (path length)0 m

হলুদ + পরখ চার্জটিকে (test charge) টেনে মাঝের +Q-এর দিকে নিয়ে যাও — পাহাড়ে বল ঠেলে তোলার মতো কাজ লাগে। মিটার দেখো।

পরখ চার্জ q = +1 μC; ভর 10 g ধরা হয়েছে যাতে গড়ানো চোখে দেখা যায় (illustrative mass)।

এই “পাহাড়ের উচ্চতা”-ই তড়িৎ বিভব (electric potential): কোনো বিন্দুতে একক ধনাত্মক চার্জ আনতে কত কাজ লাগে। পথ বদলালেও কাজ কেন একই থাকে, আর এই একটি সংখ্যা দিয়ে কত কিছু হিসাব করা যায় — এই পাঠে তা-ই দেখব।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

উঁচু থেকে নিচুতে — পানি, তাপ আর চার্জের প্রবাহ
বিভব শক্তি (potential energy) আর সংরক্ষণশীল বল (conservative force) — কাজ পথের ওপর নির্ভর করে না
বিভবের সংজ্ঞা, একক ভোল্ট (volt), বিভব একটি স্কেলার
বিন্দু চার্জের বিভব $V = kq/r$
অনেক চার্জের বিভব — বীজগাণিতিক যোগ, আর V = 0 বিন্দু
চার্জ-ব্যবস্থার বিভব শক্তি (potential energy of a system)
বিভব পার্থক্য (potential difference), $W = q\Delta V$ আর ইলেকট্রন ভোল্ট (electron-volt)
পৃথিবীর বিভব শূন্য কেন ধরা হয়
এবার নিজে করে দেখো — বিভবের মানচিত্র (potential landscape)

ধাপ ১: উঁচু থেকে নিচুতে

আগের পাঠে দেখেছ, চার্জের চারপাশে তড়িৎ ক্ষেত্র (electric field) থাকে, আর প্রতিটি বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য (electric field intensity) $\vec{E}$ বলে দেয় একক ধনাত্মক পরখ চার্জ (test charge) কত বল পাবে। এবার একটু অন্যভাবে ভাবি — বলের বদলে শক্তি দিয়ে।

প্রকৃতিতে অনেক কিছু “উঁচু থেকে নিচুতে” চলে:

তিনটিই চলে “উঁচু থেকে নিচুতে”, আর তল বা তাপমাত্রা বা বিভব সমান হলে প্রবাহ থেমে যায়। পানির পরিমাণ নয়, তলের উচ্চতাই ঠিক করে পানি কোন দিকে যাবে — তেমনি চার্জের পরিমাণ নয়, বিভবই ঠিক করে চার্জ কোন দিকে যাবে। (ঋণাত্মক চার্জ, যেমন ইলেকট্রন, যায় উল্টো দিকে: নিম্ন থেকে উচ্চ বিভবে।)

পানি পাইপ দিয়ে কোন দিকে যাবে তা ঠিক করে দুই পাত্রের পানির তলের উচ্চতা, পানির পরিমাণ নয়। তাপ কোন দিকে যাবে তা ঠিক করে তাপমাত্রা, তাপের পরিমাণ নয়। তেমনি দুটি চার্জিত বস্তু তার দিয়ে জুড়লে ধনাত্মক চার্জ কোন দিকে যাবে তা ঠিক করে একটি রাশি — তড়িৎ বিভব (electric potential)। ধনাত্মক চার্জ উচ্চ বিভব থেকে নিম্ন বিভবে যায়, আর দুই বস্তুর বিভব সমান হলে প্রবাহ থেমে যায়। (ধাতুর তারে আসলে চলে ইলেকট্রন, যা ঋণাত্মক — সেগুলো যায় উল্টো দিকে, নিম্ন থেকে উচ্চ বিভবে।)

নিজে যাচাই করো

A বস্তুর বিভব 10 V, B বস্তুর 2 V। তার দিয়ে জুড়লে তারের ভেতর ইলেকট্রন কোন দিকে যাবে?

ধাপ ২: বিভব শক্তি — কাজ পথের ওপর নির্ভর করে না

একটি চার্জকে ক্ষেত্রের ভেতর ধীরে ধীরে (গতিশক্তি না বাড়িয়ে) এক বিন্দু থেকে আরেক বিন্দুতে নিতে বাইরের কাউকে (তোমাকে) ক্ষেত্রের বলের সমান ও বিপরীত বল দিতে হয়: $\vec{F}_{\text{ext}} = -q\vec{E}$ । ছোট সরণ $d\vec{l}$ -এ তোমার কাজ $\vec{F}_{\text{ext}}\cdot d\vec{l}$ , আর পুরো পথে এগুলোর যোগফল $\int \vec{F}_{\text{ext}}\cdot d\vec{l}$ ।

স্থির চার্জের তড়িৎ বল একটি সংরক্ষণশীল বল (conservative force) — অভিকর্ষের মতোই। এর মানে: দুই বিন্দুর মধ্যে চার্জ নিতে কাজ শুধু শুরু আর শেষ বিন্দুর ওপর নির্ভর করে, পথের ওপর নয়। তাই প্রতিটি বিন্দুর সাথে একটি বিভব শক্তি (potential energy) $U$ জুড়ে দেওয়া যায়, আর

W_{\text{ext}}(A \to B) = U_B - U_A

নিচে A থেকে B পর্যন্ত আঙুল দিয়ে যেকোনো পথ আঁকো। প্রতিটি ছোট অংশের কাজ যোগ হচ্ছে — পাহাড়ে ওঠার অংশ কমলা (কাজ +), নামার অংশ নীল (কাজ −)। লম্বা ঘোরানো পথ আর সোজা পথ — দুটোই আঁকো:

উঠছে (uphill): কাজ +নামছে (downhill): কাজ −

ওঠার কাজ (Σ positive)+0 mJ

নামার কাজ (Σ negative)0 mJ

মোট ∫F·dl (total work)0 mJ

q(V_B − V_A)3.59 mJ

A বিন্দুতে আঙুল রেখে যেকোনো আঁকাবাঁকা পথে B পর্যন্ত টেনে আনো।

ঘোরানো পথে ওঠা-নামা দুটোই বেশি, কিন্তু বাড়তি ওঠার কাজ বাড়তি নামায় ঠিক ফেরত আসে। তাই মোট সবসময় $U_B - U_A$ । একটি চমৎকার ফল: চার্জকে কোনো বদ্ধ পথে (closed path) ঘুরিয়ে আবার শুরুর বিন্দুতে আনলে মোট কাজ শূন্য।

নিজে যাচাই করো

একটি চার্জকে স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রে 5 m লম্বা একটি বদ্ধ পথে ঘুরিয়ে আবার শুরুর বিন্দুতে আনা হলো। ক্ষেত্রের বিরুদ্ধে মোট কাজ কত?

ধাপ ৩: বিভবের সংজ্ঞা — ভোল্ট

বিভব শক্তি $U$ পরখ চার্জের মানের ওপর নির্ভর করে: দ্বিগুণ চার্জ আনতে দ্বিগুণ কাজ। কিন্তু $U/q$ অনুপাতটি শুধু জায়গার ধর্ম — পরখ চার্জ যা-ই হোক। এই অনুপাতই বিভব।

সংজ্ঞা: অসীম দূর (যেখানে বিভব শূন্য ধরা হয়) থেকে একক ধনাত্মক চার্জকে ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে আনতে যে কাজ করতে হয়, তা-ই ওই বিন্দুর তড়িৎ বিভব:

V = \frac{W}{q} = \frac{U}{q}

একক: J C⁻¹, যার নাম ভোল্ট (volt, V)। $1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1}$ : অসীম থেকে 1 C চার্জ আনতে 1 J কাজ লাগলে ওই বিন্দুর বিভব 1 V। মাত্রা $[\text{ML}^2\text{T}^{-3}\text{I}^{-1}]$ ।
বিভব একটি স্কেলার (scalar) — কাজ আর চার্জ দুটোই স্কেলার, তাই এদের অনুপাতও। বিভবের কোনো দিক নেই, শুধু মান আর চিহ্ন।
চিহ্ন: ধনাত্মক চার্জের কাছে বিভব ধনাত্মক (+ চার্জ আনতে কাজ লাগে), ঋণাত্মক চার্জের কাছে ঋণাত্মক (+ চার্জটি নিজেই টেনে নেয়, তোমার কাজ ঋণাত্মক)।

নিজে যাচাই করো

অসীম থেকে 2 μC চার্জ একটি বিন্দুতে আনতে 6 × 10⁻⁴ J কাজ লাগল। ওই বিন্দুর বিভব কত?

ধাপ ৪: বিন্দু চার্জের বিভব

বিন্দু চার্জ (point charge) $q$ থেকে $r$ দূরে বিভব বের করতে, একক ধনাত্মক চার্জকে অসীম থেকে $r$ পর্যন্ত আনার কাজ যোগ করি। $x$ দূরে ক্ষেত্র $E = kq/x^2$ বাইরের দিকে; আমরা চার্জকে ভেতরের দিকে আনছি, তাই প্রতি ধাপে আমাদের কাজ $-E\,dx$ :

V = -\int_{\infty}^{r} E\,dx = -\int_{\infty}^{r} \frac{kq}{x^2}\,dx = -kq\left[-\frac{1}{x}\right]_{\infty}^{r} = \frac{kq}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}

এখানে $k = 1/4\pi\varepsilon_0 = 8.988 \times 10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}$ (বোর্ডে $9 \times 10^9$ )। কোনো মাধ্যমে, যার পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক (dielectric constant) $\varepsilon_r$ :

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\varepsilon_r r}

খেয়াল করো: বিভব কমে $1/r$ হারে, কিন্তু প্রাবল্য কমে $1/r^2$ হারে। দুটিকে ভাগ করলে $V/E = r$ , অর্থাৎ বিন্দু চার্জের জন্য (এবং শুধু বিন্দু চার্জের জন্য) $V = Er$ ।

দূরত্ব দ্বিগুণ করলে বিভব অর্ধেক হয়, কিন্তু প্রাবল্য (field intensity) হয় এক-চতুর্থাংশ। বিভব 1/r², এ কথা ভুল — সেটা প্রাবল্যের নিয়ম।

নিজে যাচাই করো

একটি বিন্দু চার্জ থেকে 1 m দূরে বিভব 90 V। 3 m দূরে বিভব কত?

ধাপ ৫: অনেক চার্জের বিভব

বিভব স্কেলার, তাই কয়েকটি চার্জের মোট বিভব শুধু বীজগাণিতিক যোগফল (algebraic sum) — চিহ্নসহ যোগ, কোনো দিক বা উপাংশের ঝামেলা নেই:

V = k\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} + \cdots\right) = k\sum_i \frac{q_i}{r_i}

প্রাবল্যের সাথে তুলনা করো: সেখানে প্রতিটি $\vec{E}$ -এর দিক মেনে ভেক্টর যোগ করতে হয়। যেমন 2 m বাহুর বর্গের চার কোণে 2 nC করে চার্জ: কেন্দ্রে প্রাবল্য শূন্য (চারটি সমান ভেক্টর পরস্পর কেটে যায়), কিন্তু বিভব

V = 4 \times \frac{kq}{\sqrt{2}} = 4 \times \frac{8.988 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-9}}{1.414} = 50.8\ \text{V}

(বোর্ডের মান, $k = 9 \times 10^9$ : 50.9 V)। $E = 0$ হলেও $V$ শূন্য নয় — দুটি আলাদা রাশি।

বিপরীত চার্জে V = 0 বিন্দু। +40 μC আর −10 μC চার্জ 30 cm দূরে। রেখার ওপর কোথায় $V = 0$ ? প্রোব সরিয়ে খোঁজো, আর দ্বিতীয় চার্জের মান বদলে দেখো:

প্রোবের অবস্থান (probe) x = 10 cmদ্বিতীয় চার্জ (second charge) = −10 μC

প্রোবে বিভব (potential) V3.15 × 10⁶ V

V = 0 বিন্দু (zero points)?

প্রোব (probe) সরিয়ে এমন বিন্দু খোঁজো যেখানে V = 0। কয়টি পেলে?

$V = 0$ মানে $\dfrac{40}{x} = \dfrac{10}{|x - 30|}$ (x cm-এ, +40 μC থেকে)। দুই চার্জের মাঝে: $40(30 - x) = 10x \Rightarrow x = 24$ cm। বাইরে, ছোট চার্জটির পেছনে: $40(x - 30) = 10x \Rightarrow x = 40$ cm। তাই বিপরীত চিহ্নের দুটি চার্জের রেখায় দুটি শূন্য-বিভব বিন্দু থাকে — একটি মাঝে, একটি বাইরে ছোট চার্জের দিকে। (সমান চিহ্নের চার্জে কোনোটিই নেই; সেখানে মাঝে কোথাও $E = 0$ হয়।)

নিজে যাচাই করো

বর্গের চার কোণে পরপর +q, +q, −q, −q চার্জ। কেন্দ্রে বিভব কত?

ধাপ ৬: চার্জ-ব্যবস্থার বিভব শক্তি

কয়েকটি চার্জকে অসীম দূর থেকে একে একে এনে কোনো সাজানো রূপ (configuration) বানাতে বাইরের কাউকে মোট যে কাজ করতে হয়, তা-ই ওই ব্যবস্থার বিভব শক্তি (potential energy of the system)। প্রথম চার্জ আনতে কোনো কাজ লাগে না (আর কোনো চার্জ নেই); দ্বিতীয়টি আনতে $q_2 V_1 = kq_1q_2/r_{12}$ ; তৃতীয়টি আনতে $q_3(V_1 + V_2)$ … সব মিলিয়ে

U = k\sum_{\text{pairs}} \frac{q_iq_j}{r_{ij}} = k\left(\frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}} + \frac{q_3q_1}{r_{31}}\right)

প্রতিটি জোড়া একবার করে গোনা হয়। চিহ্নের অর্থ:

$U > 0$ : চার্জগুলো পরস্পরকে মোটের ওপর বিকর্ষণ করে; বানাতে কাজ দিতে হয়েছে, ছেড়ে দিলে ছিটকে সরে যাবে।
$U < 0$ : মোটের ওপর আকর্ষণ — ব্যবস্থাটি বাঁধা (bound)। আলাদা করে আবার অসীমে নিতে বাইরে থেকে $+|U|$ কাজ দিতে হবে।

উদাহরণ: 15 cm বাহুর সমবাহু ত্রিভুজের কোণে +2, −4, +8 μC:

U = \frac{8.988 \times 10^9 \times (-8 - 32 + 16) \times 10^{-12}}{0.15} = -1.438\ \text{J}

(বোর্ড: −1.44 J)। এদের আলাদা করতে তোমাকে +1.44 J কাজ করতে হবে।

নিজে যাচাই করো

দুটি চার্জের ব্যবস্থার বিভব শক্তি U = −3 J। চার্জ দুটিকে অসীম দূরত্বে আলাদা করতে বাইরের কাজ কত?

ধাপ ৭: বিভব পার্থক্য, কাজ আর ইলেকট্রন ভোল্ট

দুই বিন্দুর বিভবের পার্থক্যকে বলে বিভব পার্থক্য (potential difference): $V_{BA} = V_B - V_A$ । একক চার্জকে A থেকে B-তে আনতে যে কাজ, তা-ই বিভব পার্থক্য; $q$ চার্জের জন্য

W_{A \to B} = q(V_B - V_A)

এটি বাইরের এজেন্টের (তোমার) কাজ; ক্ষেত্রের নিজের কাজ এর ঋণাত্মক। যেমন 12 V ব্যাটারির দুই প্রান্তের মধ্যে 8 mC চার্জ সরাতে $W = 8 \times 10^{-3} \times 12 = 0.096$ J। চার্জ ঋণাত্মক হলে চিহ্নটা খেয়াল রাখো: ইলেকট্রনকে + চার্জের কাছে আনতে তোমার কাজ ঋণাত্মক।

ইলেকট্রন ভোল্ট (electron-volt, eV)। পরমাণুর জগতে জুল খুব বড় একক। একটি ইলেকট্রন (চার্জের মান $e$ ) 1 V বিভব পার্থক্যের ভেতর দিয়ে গেলে যে শক্তি পায় বা হারায়, তা-ই 1 eV:

1\ \text{eV} = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \text{C} \times 1\ \text{V} = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \text{J}

$1\ \text{keV} = 10^3\ \text{eV}$ , $1\ \text{MeV} = 10^6\ \text{eV} = 1.602 \times 10^{-13}$ J। স্থির অবস্থা থেকে $V$ বিভব পার্থক্যে ত্বরিত চার্জের গতিশক্তি

\tfrac{1}{2}mv^2 = qV \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}

নিচে বিভব পার্থক্য বদলে ইলেকট্রনের শক্তি আর দ্রুতি দেখো। খেয়াল করো, কয়েক কিলোভোল্টের ওপরে $\tfrac{1}{2}mv^2$ সূত্র বাস্তবের চেয়ে বেশি দ্রুতি দেয় — তখন আপেক্ষিকতা (relativity) লাগে:

বিভব পার্থক্য (potential difference) ΔV = 180 V

গতিশক্তি (kinetic energy)180 eV

জুলে (in joules)2.88 × 10⁻¹⁷ J

দ্রুতি, ½mv² = eV (classical)7.96 × 10⁶ m/sবোর্ডের মান (board, e = 1.6, m = 9.1): 7.96 × 10⁶

আসল দ্রুতি (relativistic)7.96 × 10⁶ m/s= 0.0265 c

ΔV = 180 V: দুই হিসাব প্রায় সমান (পার্থক্য 0.026%) — বোর্ডের ½mv² = eV এখানে নিশ্চিন্তে চলে।

নিজে যাচাই করো

একটি ইলেকট্রন 500 V বিভব পার্থক্যে ত্বরিত হলো। তার গতিশক্তি কত?

ধাপ ৮: পৃথিবীর বিভব শূন্য কেন

বিভব মাপা হয় একটি প্রসঙ্গ (reference) থেকে — যেমন উচ্চতা মাপি সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে। তাত্ত্বিক হিসাবে প্রসঙ্গ অসীম দূর; ব্যবহারিক কাজে প্রসঙ্গ পৃথিবী, যার বিভব শূন্য ধরা হয়। কোনো বস্তুকে মাটির সাথে জুড়লে (ভূ-সংযুক্ত, earthed) তার বিভব শূন্য হয়ে যায়।

পৃথিবীকে প্রসঙ্গ নেওয়া চলে কারণ পৃথিবী এত বড় যে চার্জ দিলে বা নিলে তার বিভব প্রায় বদলায় না। $R = 6.371 \times 10^6$ m ব্যাসার্ধের গোলকের ধারকত্ব (capacitance) $C = 4\pi\varepsilon_0 R \approx 7.09 \times 10^{-4}$ F (ধারকত্ব নিয়ে পরে বিস্তারিত পড়বে)। তাই 1 μC চার্জ মাটিতে গেলে পৃথিবীর বিভব বদলায় মাত্র $\Delta V = Q/C = 10^{-6}/7.09 \times 10^{-4} \approx 1.4$ mV — একটি বিশাল জলাধারে এক বালতি পানি ঢালার মতো, তল প্রায় একই থাকে।

নিজে যাচাই করো

একটি চার্জিত ধাতব গোলককে তার দিয়ে মাটির সাথে জুড়লে কী হবে?

ধাপ ৯: এবার নিজে করে দেখো

নিচের মানচিত্রে রং দিয়ে বিভব দেখানো: লাল = ধনাত্মক, নীল = ঋণাত্মক, আর সবুজ রেখায় $V = 0$ । সাদা রেখাগুলো সমবিভব ধাপ (equipotential steps) — পরের পাঠে এগুলো বিস্তারিত দেখবে।

প্রিসেট (presets): প্রতিটি চ্যালেঞ্জের জন্য চার্জ সাজানো আছে। চার্জ টেনে সরাও, চার্জে চাপ দিয়ে মান বদলাও বা মুছো, নতুন চার্জ যোগ করো।
প্রোব P: টেনে যেকোনো বিন্দুতে নাও — সেখানে $V$ (সাথে বোর্ডের মান) আর $|\vec{E}|$ দেখাবে। “A চিহ্নিত করো” চাপলে P-এর বর্তমান জায়গা A হয়ে যায়; তারপর P সরালে পরখ চার্জকে A থেকে P-তে আনার কাজ দেখাবে।
অসীম থেকে আনো (assemble): চার্জগুলো একে একে আনো; প্রতিটি ধাপের কাজ আর মোট $U$ দেখো।

চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে মাপগুলো পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) রাখো।

বিভবের মানচিত্র

Potential landscape — V map, probe, work and assembling charges

↗

+V (লাল, red)−V (নীল, blue)V = 0 রেখাসাদা রেখা: সমবিভব ধাপ (equipotential steps, অসমান ব্যবধান)

P-তে বিভব (potential) V50.00 Vবোর্ডের মান (board value, k = 9×10⁹): 50.07 V

P-তে প্রাবল্য (field) |E|36.9 N/C

পরখ চার্জ (test charge)+1 μC

A → P: তোমার কাজ (your work) q(V_P − V_A)—

কোনো চার্জে চাপ দিলে তার মান বদলানো যায়।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

“বর্গ” প্রিসেট: 2 m বাহুর বর্গের প্রতি কোণে 2 nC। প্রোব (P) কেন্দ্রে নিয়ে V পড়ো।
“চতুর্থ চার্জ” প্রিসেট: 6, −12, 14 nC আছে। চতুর্থটির মান কত দিলে কেন্দ্রে V = 0?
“ত্রিভুজ” প্রিসেট (15 cm; +2, −4, +8 μC): তিনটি চার্জ একে একে অসীম থেকে আনো। মোট U কত? এদের আবার আলাদা করতে কত কাজ লাগবে?
“একটি চার্জ”: চার্জের মান আর প্রোবের দূরত্ব এমন করো যাতে প্রোবে V = 10 V আর E = 20 N/C হয়।
“ইলেকট্রন সরাও”: +20 μC থেকে 10 cm দূরে A চিহ্নিত করো, তারপর প্রোব 5 cm দূরে আনো। তোমার কাজ কত?
“+40 ও −10 μC” (30 cm দূরে): রেখার ওপর যে দুটি বিন্দুতে V = 0, দুটিতেই প্রোব রাখো। (0/2)

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। প্রোব রেখে “খাতায় লেখো” চাপো, বা assemble মোডে চার্জ আনো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আর বিভ্রান্তিকর কথা আছে:

উদাহরণ ২.৮-৫ (পৃ. 107): +2, −4, +8 μC-এর ত্রিভুজে U = −1.44 J বের করে বই বলেছে, চার্জগুলোকে অসীমে নিতে “−1.44 J কাজ করতে হবে” — ভুল। −1.44 J হলো ব্যবস্থাটি বানানোর কাজ; আলাদা করতে তোমাকে +1.44 J দিতে হবে (ব্যবস্থাটি বাঁধা)। আসল $k$ দিয়ে −1.438 J।
উদাহরণ ২.৪-১ (পৃ. 96): ইলেকট্রনকে 20 μC থেকে 10 cm দূর থেকে 5 cm দূরে আনার কাজে ইলেকট্রনের চার্জ ধনাত্মক ( $+1.6 \times 10^{-19}$ C) বসানো হয়েছে। ইলেকট্রনের চার্জ $-e$ : তোমার কাজ $-2.88 \times 10^{-13}$ J, ক্ষেত্রের কাজ $+2.88 \times 10^{-13}$ J। বোর্ডে মান 2.88 × 10⁻¹³ J লিখলে চলে, কিন্তু চিহ্নের অর্থ বুঝে নাও।
উদাহরণ ২.৫-২ (পৃ. 98): +40 μC আর −10 μC-এর জন্য শুধু 24 cm বিন্দুটি দেওয়া — আরেকটি $V = 0$ বিন্দু আছে, +40 μC থেকে 40 cm দূরে (−10 μC-এর 10 cm পেছনে)। উত্তরে দুটিই লেখো।
সমীকরণ ২.৩৩ (পৃ. 104): “ $V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{\varepsilon_r r} = \dfrac{E r}{\varepsilon_r}$ ” — এখানে $E$ নীরবে শূন্যস্থানের প্রাবল্য ধরা হয়েছে। মাধ্যমের প্রাবল্য নিলে $V = Er$ (ε_r আগেই $E$ -এর ভেতরে আছে)। আর $V = Er$ শুধু বিন্দু চার্জের জন্য সত্য, সাধারণ নিয়ম নয়।
তথ্য ২৮ (পৃ. 160): “বিন্দু আধানের জন্য তড়িৎ বিভব দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক” — ভুল। $V \propto 1/r$ ; $1/r^2$ হলো প্রাবল্যের নিয়ম। তথ্য ৮-এর “দূরত্ব বাড়লে বিভব কমে” কথাটিও শুধু ধনাত্মক চার্জের জন্য সত্য (ঋণাত্মক চার্জের বিভব দূরে গেলে বাড়ে, শূন্যের দিকে)।
বহুনির্বাচনি ৭২ (পৃ. 168): 2 m বাহুর সমবাহু ত্রিভুজের B-তে −5 nC, AC-এর মধ্যবিন্দুতে বিভব; উত্তরমালায় 20.12 V। মধ্যবিন্দু B থেকে $\sqrt{3}$ m দূরে, তাই V = −26.0 V (আসল $k$ -এ −25.9 V) — কোনো অপশনই ঠিক নয়। 20.12 V আসে ভুল করে $\sqrt{5}$ m নিলে।
বহুনির্বাচনি ৭৫ (পৃ. 168): দূরত্ব না দিয়ে চতুর্থ চার্জ চাওয়া — দেওয়া তথ্যে উত্তর মেলানো যায় না। প্রশ্নটি অনুশীলনে ব্যবহার কোরো না।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. তড়িৎ বিভবের সংজ্ঞা দাও। 1 V আর 1 eV বলতে কী বোঝো? বিভব স্কেলার রাশি কেন?

উত্তর দেখো

অসীম দূর থেকে একক ধনাত্মক চার্জকে তড়িৎ ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে আনতে যে কাজ করতে হয়, তা-ই ওই বিন্দুর তড়িৎ বিভব: $V = W/q$ ।

1 V: অসীম থেকে 1 C চার্জ কোনো বিন্দুতে আনতে 1 J কাজ লাগলে ওই বিন্দুর বিভব 1 V ( $1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1}$ )।

1 eV: একটি ইলেকট্রন 1 V বিভব পার্থক্যের মধ্য দিয়ে গেলে যে শক্তি পায়: $1\ \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}$ J।

বিভব কাজ (স্কেলার) আর চার্জের (স্কেলার) অনুপাত, তাই এরও কোনো দিক নেই — কয়েকটি চার্জের বিভব সাধারণ বীজগাণিতিক যোগে মেলে।

২. 2 m বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের প্রতিটি কোণে 2 nC চার্জ। (ক) বর্গের কেন্দ্রে বিভব কত? (খ) কোণগুলোতে 6, −12, 14 nC থাকলে চতুর্থ কোণে কত চার্জ রাখলে কেন্দ্রে বিভব শূন্য হবে?

উত্তর দেখো

(ক) প্রতিটি কোণ কেন্দ্র থেকে $r = \sqrt{2}$ m দূরে।

V = \frac{4kq}{r} = \frac{4 \times 9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-9}}{1.414} = 50.9\ \text{V}

(আসল $k = 8.988 \times 10^9$ দিয়ে 50.8 V।)

(খ) সব $r$ সমান, তাই $V = \dfrac{k}{r}(6 - 12 + 14 + q) \times 10^{-9} = 0 \Rightarrow q = -8$ nC।

৩. একটি বিন্দু চার্জের কারণে কোনো বিন্দুতে বিভব 10 V আর প্রাবল্য 20 N C⁻¹। বিন্দুটি চার্জ থেকে কত দূরে, আর চার্জের মান কত?

উত্তর দেখো

$V = kq/r$ , $E = kq/r^2$ , তাই $r = V/E = 10/20 = 0.5$ m।

q = \frac{Vr}{k} = \frac{10 \times 0.5}{9 \times 10^9} = 5.56 \times 10^{-10}\ \text{C}

(আসল $k$ দিয়েও $5.56 \times 10^{-10}$ C।)

৪. +20 μC চার্জ থেকে 10 cm দূরের একটি বিন্দু থেকে একটি ইলেকট্রনকে 5 cm দূরের বিন্দুতে আনা হলো। কত কাজ করতে হবে?

উত্তর দেখো

V_A = \frac{9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-6}}{0.10} = 1.8 \times 10^6\ \text{V}, \qquad V_B = \frac{9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-6}}{0.05} = 3.6 \times 10^6\ \text{V}

W = q(V_B - V_A) = (-1.6 \times 10^{-19}) \times 1.8 \times 10^6 = -2.88 \times 10^{-13}\ \text{J}

বাইরের এজেন্টের কাজ ঋণাত্মক: ইলেকট্রন নিজেই + চার্জের দিকে আকৃষ্ট হয়, ক্ষেত্র $+2.88 \times 10^{-13}$ J কাজ করে। কাজের মান $2.88 \times 10^{-13}$ J।

৫. (MCQ) একটি ইলেকট্রন স্থির অবস্থা থেকে 180 V বিভব পার্থক্যে ত্বরিত হলে তার দ্রুতি প্রায় কত? ( $m_e = 9.1 \times 10^{-31}$ kg) (ক) $5.9 \times 10^5$ m s⁻¹ (খ) $8 \times 10^6$ m s⁻¹ (গ) $6.4 \times 10^{13}$ m s⁻¹ (ঘ) $3 \times 10^8$ m s⁻¹

উত্তর দেখো

(খ)। $v = \sqrt{2eV/m} = \sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 180 / 9.1 \times 10^{-31}} = \sqrt{6.33 \times 10^{13}} = 7.96 \times 10^6 \approx 8 \times 10^6$ m s⁻¹। (ক) হলো 1 V-এর উত্তর; (গ) হলো $v^2$ , বর্গমূল নিতে ভুলে গেলে।

৬. (সৃজনশীল) 15 cm বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন শীর্ষে +2 μC, −4 μC ও +8 μC চার্জ রাখা আছে। অন্য একটি সেটআপে +40 μC ও −10 μC চার্জ দুটি 30 cm দূরে। (গ) ত্রিভুজের চার্জ-ব্যবস্থার বিভব শক্তি নির্ণয় করো। (ঘ) “চার্জগুলোকে আলাদা করে অসীমে নিতে −1.44 J কাজ লাগবে” — উক্তিটি যাচাই করো। আর দ্বিতীয় সেটআপে চার্জ দুটির সংযোগ রেখায় কোথায় কোথায় বিভব শূন্য, গাণিতিকভাবে দেখাও।

উত্তর দেখো

(গ) তিনটি জোড়া, সবার দূরত্ব 0.15 m:

U = \frac{9 \times 10^9 \times [(2)(-4) + (-4)(8) + (8)(2)] \times 10^{-12}}{0.15} = \frac{9 \times 10^9 \times (-24 \times 10^{-12})}{0.15} = -1.44\ \text{J}

(ঘ) $U = -1.44$ J মানে চার্জগুলোকে অসীম থেকে এনে বসাতে বাইরের এজেন্ট −1.44 J কাজ করেছে (আকর্ষণ বেশি, তাই ব্যবস্থাটি বাঁধা)। আলাদা করতে হলে শেষে $U = 0$ : $W = 0 - (-1.44) = +1.44$ J। তাই উক্তিটি ভুল — +1.44 J কাজ দিতে হবে।

শূন্য বিভব: +40 μC থেকে $x$ cm দূরে $\dfrac{40}{x} = \dfrac{10}{|x - 30|}$ । মাঝে: $40(30 - x) = 10x \Rightarrow x = 24$ cm। বাইরে (−10 μC-এর পেছনে): $40(x - 30) = 10x \Rightarrow x = 40$ cm। অর্থাৎ +40 μC থেকে 24 cm আর 40 cm দূরে — দুটি বিন্দু।