পাঠ ৬ / ১২অনুচ্ছেদ ২.৪–২.৪.৪

তড়িৎ দ্বিমেরু: ভ্রামক, টর্ক, বিভব ও প্রাবল্যElectric dipole: moment, torque, potential & field

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ২ — তড়িৎ ক্ষেত্র, প্রাবল্য ও বলরেখা, পাঠ ৩ — তড়িৎ বিভব, বিভব শক্তি ও ইলেকট্রন ভোল্ট

একটি হালকা দণ্ডের দুই মাথায় সমান কিন্তু বিপরীত চার্জ — একটি +q, একটি −q। দুটি চার্জিত পাতের মাঝের সুষম ক্ষেত্রে রাখলে +q পায় ডানে qE বল, −q পায় বাঁয়ে qE বল। নিট বল তাহলে শূন্য। নিচে ডাম্বেলটি আঙুল দিয়ে ঘুরিয়ে ছেড়ে দাও:

নিট বল (net force)0

কোণ θ (p আর E-এর মাঝে)60°

টর্ক (torque) τ0.87 × pEঘড়ির কাঁটার দিকে (clockwise)

ডাম্বেলটি আঙুল দিয়ে ঘুরিয়ে ছেড়ে দাও।

নিট বল শূন্য, তবু ঘোরে কেন? কারণ বল দুটি একই রেখায় নয় — সমান ও বিপরীত দুটি বল আলাদা রেখায় থাকলে তারা একটি দ্বন্দ্ব (couple) তৈরি করে, যা বস্তুকে সরায় না, শুধু ঘোরায়। এই পাঠে এমন চার্জ-জোড়ার — তড়িৎ দ্বিমেরু (electric dipole) — টর্ক, শক্তি, বিভব আর প্রাবল্য হিসাব করব।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

তড়িৎ দ্বিমেরু আর দ্বিমেরু ভ্রামক (dipole moment) — অণুর দ্বিমেরু
সুষম ক্ষেত্রে দ্বিমেরু: নিট বল শূন্য, টর্ক (torque) $\tau = pE\sin\theta$
ঘোরাতে কাজ আর বিভব শক্তি (potential energy)
দ্বিমেরুর বিভব (potential) $V = kp\cos\theta/r^2$
অক্ষ (axis) আর লম্বদ্বিখণ্ডক (perpendicular bisector) বরাবর প্রাবল্য — $1/r^3$ নিয়ম
অ-সুষম ক্ষেত্রে নিট বল, আর একাধিক দ্বিমেরুর যোগ
এবার নিজে করে দেখো — দ্বিমেরুর ক্ষেত্র ও টর্ক

ধাপ ১: তড়িৎ দ্বিমেরু আর দ্বিমেরু ভ্রামক

সমান মানের দুটি বিপরীত বিন্দু চার্জ (point charge) $+q$ আর $-q$ খুব কাছাকাছি, $2l$ দূরত্বে থাকলে এই জোড়াকে তড়িৎ দ্বিমেরু বলে। এর শক্তি বোঝাতে একটি রাশি:

\vec{p} = q \cdot 2\vec{l}, \qquad p = q \times 2l

দ্বিমেরু ভ্রামক একটি ভেক্টর (vector): মান $q \times 2l$ , দিক −q থেকে +q-এর দিকে, দ্বিমেরুর অক্ষ (axis) বরাবর।
একক: কুলম্ব-মিটার (C m)। মাত্রা $[\text{LTI}]$ ।
এখানে $q$ মানে যেকোনো একটি চার্জের মান — মোট চার্জ শূন্য।

একই অণু, দুই বিষয়ে দুই রকম তীর। এই পাঠে (পদার্থবিজ্ঞান) দ্বিমেরু ভ্রামক সবসময় −q থেকে +q-এর দিকে; রসায়নের পোলারিটি পাঠে আড়-দাগওয়ালা তীর δ+ থেকে δ−-এর দিকে। মান একই, শুধু তীরের রীতি আলাদা।

রসায়নে তুমি অণুর পোলারিটি (polarity) পড়েছ: HCl অণুতে Cl বেশি তড়িৎ-ঋণাত্মক, তাই ইলেকট্রন মেঘ Cl-এর দিকে সরে — অণুটি একটি স্থায়ী দ্বিমেরু। অণুর ভ্রামক খুব ছোট, তাই এর একক ডিবাই (debye, D): $1\ \text{D} = 3.336 \times 10^{-30}$ C m।

অণু (molecule)	দ্বিমেরু ভ্রামক (D)	C m
H₂O (পানি)	1.85	6.19 × 10⁻³⁰
NH₃ (অ্যামোনিয়া)	1.47	4.91 × 10⁻³⁰
HCl	1.11	3.70 × 10⁻³⁰
CO	0.11	0.37 × 10⁻³⁰
CO₂, CH₄	0	0 (প্রতিসম, symmetric)
H পরমাণু (ভূমি অবস্থা)	0	0

(মান: CRC Handbook, গ্যাস অবস্থায়।) CO₂ রৈখিক O=C=O — দুই বন্ধনের দ্বিমেরু সমান ও বিপরীত, কেটে যায়। আর হাইড্রোজেন পরমাণু স্থায়ী দ্বিমেরু নয়: ভূমি অবস্থায় (1s) ইলেকট্রন মেঘ প্রোটনের চারপাশে গোলীয়ভাবে সমান ছড়ানো, তাই ধন ও ঋণ চার্জের কেন্দ্র একই বিন্দুতে। বাইরের ক্ষেত্রে রাখলে মেঘ একটু সরে, তখন একটি আবিষ্ট দ্বিমেরু (induced dipole) তৈরি হয়।

নিজে যাচাই করো

+3 nC আর −3 nC চার্জ 2 mm দূরে। দ্বিমেরু ভ্রামকের মান আর দিক কী?

ধাপ ২: সুষম ক্ষেত্রে দ্বিমেরু — টর্ক

$\vec{p}$ যদি সুষম ক্ষেত্র $\vec{E}$ -এর সাথে $\theta$ কোণে থাকে, তাহলে $+q$ -এর ওপর বল $q\vec{E}$ , $-q$ -এর ওপর $-q\vec{E}$ :

নিট বল $= q\vec{E} - q\vec{E} = 0$ — দ্বিমেরু সরে না।
কিন্তু বল দুটির ক্রিয়ারেখার লম্ব দূরত্ব $2l\sin\theta$ , তাই এরা একটি দ্বন্দ্ব। টর্ক = একটি বল × লম্ব দূরত্ব:

\tau = qE \times 2l\sin\theta = pE\sin\theta, \qquad \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}

$\theta = 90°$ : টর্ক সর্বোচ্চ, $\tau_{\max} = pE$ । এ থেকে একটি সংজ্ঞা: একক প্রাবল্যের ক্ষেত্রে লম্বভাবে রাখলে দ্বিমেরু যে টর্ক পায়, তা-ই দ্বিমেরু ভ্রামকের মান।
$\theta = 0°$ : টর্ক শূন্য, আর একটু সরালে টর্ক ফিরিয়ে আনে — সুস্থির সাম্য (stable equilibrium)।
$\theta = 180°$ : টর্ক আবার শূন্য, কিন্তু একটু সরালেই টর্ক আরও সরিয়ে দেয় — অস্থির সাম্য (unstable equilibrium)। ওপরের অ্যানিমেশনে “প্রায় উল্টো” বোতামে চেপে দেখো।

টর্ক দ্বিমেরুকে সবসময় ঘুরিয়ে $\vec{p}$ -কে $\vec{E}$ -এর দিকে আনতে চায়।

নিজে যাচাই করো

p = 2 × 10⁻⁸ C m একটি দ্বিমেরু 3 × 10⁴ N/C সুষম ক্ষেত্রের সাথে 30° কোণে আছে। টর্ক কত?

ধাপ ৩: ঘোরাতে কাজ আর বিভব শক্তি

টর্কের বিরুদ্ধে দ্বিমেরুকে ধীরে ধীরে $d\theta$ ঘোরাতে কাজ $dW = \tau\,d\theta = pE\sin\theta\,d\theta$ । তাই $\theta_1$ থেকে $\theta_2$ পর্যন্ত:

W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} pE\sin\theta\,d\theta = pE(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)

এটি $\tau$ – $\theta$ লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল। নিচে $\theta_1$ আর $\theta_2$ বদলে ছায়াঘেরা অংশ আর কাজ মিলিয়ে দেখো (বইয়ের উদাহরণের মান: 2 μC, 2 cm, $2 \times 10^6$ N C⁻¹):

শুরুর কোণ θ₁ = 0°শেষ কোণ θ₂ = 90°

θ₂-তে টর্ক τ = pE sinθ0.0800 N m

কাজ (work) θ₁ → θ₂ = ছায়ার ক্ষেত্রফল0.0800 J= pE(cosθ₁ − cosθ₂)

U = −pE cosθ₂ (standard)−4.90 × 10⁻¹⁸ Jবইয়ের রূপ pE(1 − cosθ₂) = 0.0800 J

p = 2 μC × 2 cm = 4 × 10⁻⁸ C m, E = 2 × 10⁶ N C⁻¹। θ₁ = 0° আর θ₂ = 180° করে দেখো: পুরো উল্টাতে লাগে 2pE = 0.16 J। θ₂ < θ₁ হলে কাজ ঋণাত্মক — ক্ষেত্র নিজেই ঘুরিয়ে দেয়।

বিভব শক্তি। কোনো অবস্থানের শক্তি মাপতে একটি শূন্য-বিন্দু লাগে:

বইয়ের রীতি: সারিবদ্ধ অবস্থান ( $\theta = 0$ ) থেকে মাপা, $W = pE(1 - \cos\theta)$ । বোর্ডের উত্তর এই রূপে।
প্রচলিত রীতি (standard): $\theta = 90°$ -এ শূন্য ধরে $U = -\vec{p}\cdot\vec{E} = -pE\cos\theta$ (Griffiths, Introduction to Electrodynamics)।

দুটোর পার্থক্য শুধু একটি ধ্রুবক $pE$ , তাই যেকোনো দুই অবস্থানের শক্তির পার্থক্য একই। যেমন সারিবদ্ধ থেকে পুরো উল্টাতে ( $0° \to 180°$ ) দুই রীতিতেই কাজ $2pE$ । $U$ সবচেয়ে কম $\theta = 0$ -তে ( $-pE$ ), তাই সেখানেই সুস্থির সাম্য।

নিজে যাচাই করো

±10⁻⁴ C চার্জ 2 cm দূরে, 10⁵ N/C সুষম ক্ষেত্রে ক্ষেত্রের দিকে রাখা। পুরো উল্টে দিতে (180°) কত কাজ লাগবে?

ধাপ ৪: দ্বিমেরুর বিভব

বিভব স্কেলার, তাই দুই চার্জের বিভব শুধু যোগ। $P$ বিন্দু দ্বিমেরুর কেন্দ্র $O$ থেকে $r$ দূরে, অক্ষের সাথে $\theta$ কোণে; $+q$ থেকে দূরত্ব $r_1$ , $-q$ থেকে $r_2$ :

P বিন্দু দ্বিমেরুর কেন্দ্র O থেকে r দূরে, অক্ষের সাথে θ কোণে। +q থেকে দূরত্ব r₁, −q থেকে r₂। লম্বদ্বিখণ্ডকের (সবুজ রেখা) প্রতিটি বিন্দু দুই চার্জ থেকে সমান দূরে, তাই সেখানে বিভব শূন্য।

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_1} - \frac{q}{r_2}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}

$r \gg l$ হলে $r_2 - r_1 \approx 2l\cos\theta$ আর $r_1 r_2 \approx r^2$ , তাই

V \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^2}

অক্ষে ( $\theta = 0°$ ): $V = kp/r^2$ (আসল মান $kp/(r^2 - l^2)$ ); $\theta = 180°$ -এ $V = -kp/r^2$ — ঋণাত্মক।
লম্বদ্বিখণ্ডকে ( $\theta = 90°$ ): $V = 0$ — প্রতিটি বিন্দু দুই চার্জ থেকে সমান দূরে। কিন্তু সেখানে প্রাবল্য শূন্য নয়।
দ্বিমেরুর বিভব কমে $1/r^2$ হারে — একক চার্জের ( $1/r$ ) চেয়ে দ্রুত, কারণ দূর থেকে $+q$ আর $-q$ -এর অবদান প্রায় কেটে যায়।

নিজে যাচাই করো

একটি দ্বিমেরুর কেন্দ্র থেকে অক্ষ বরাবর − প্রান্তের দিকে (θ = 180°) 10 cm দূরে বিভবের চিহ্ন কী?

ধাপ ৫: অক্ষ আর লম্বদ্বিখণ্ডক বরাবর প্রাবল্য

অক্ষে, কেন্দ্র থেকে $r$ দূরে (+q-এর দিকে): $+q$ -এর প্রাবল্য $kq/(r-l)^2$ বাইরের দিকে, $-q$ -এর $kq/(r+l)^2$ ভেতরের দিকে। বিয়োগ করে

E_{\text{axis}} = kq\left[\frac{1}{(r-l)^2} - \frac{1}{(r+l)^2}\right] = \frac{2kpr}{(r^2 - l^2)^2} \approx \frac{2kp}{r^3}

দিক: $\vec{p}$ -এর দিকে।

লম্বদ্বিখণ্ডকে, $r$ দূরে: দুই চার্জের প্রাবল্যের মান সমান, $kq/(r^2 + l^2)$ । লম্ব উপাংশ কেটে যায়, অক্ষের সমান্তরাল উপাংশ যোগ হয় ( $\cos\alpha = l/\sqrt{r^2+l^2}$ ):

E_{\text{eq}} = \frac{kp}{(r^2 + l^2)^{3/2}} \approx \frac{kp}{r^3}

দিক: $\vec{p}$ -এর বিপরীতে।

যেকোনো বিন্দুতে ( $r \gg l$ ): $\vec{p}$ -কে অক্ষ বরাবর ( $p\cos\theta$ ) আর লম্ব বরাবর ( $p\sin\theta$ ) ভাগ করে দুই সূত্র মিলিয়ে

E = \frac{kp}{r^3}\sqrt{1 + 3\cos^2\theta}, \qquad \tan\varphi = \tfrac{1}{2}\tan\theta

যেখানে $\varphi$ হলো $\vec{E}$ আর ব্যাসার্ধ রেখার মাঝের কোণ। তাই দূরে অক্ষের প্রাবল্য লম্বদ্বিখণ্ডকের ঠিক দ্বিগুণ, আর প্রাবল্য কমে $1/r^3$ হারে (বিভব $1/r^2$ )। নিচে দূরত্ব বদলে দেখো, কাছে এলে আসন্ন সূত্র কতটা ভুল করে:

দূরত্ব r = 2.00 × 2l

আসল (exact) E·r³/kp2.276

r ≫ l সূত্রে (approx.)2

আসন্ন মানের ভুল (error)12.1 %

কাছে এলে আসন্ন সূত্র (r ≫ l) ভুল মান দেয় — এখানে আসল সূত্র লাগবে। কত দূরে গেলে ভুল 1 %-এর নিচে নামে?

নিজে যাচাই করো

একটি দ্বিমেরুর অক্ষে r₁ দূরে আর লম্বদ্বিখণ্ডকে r₂ দূরে প্রাবল্য সমান (r ≫ l)। সম্পর্ক কোনটি?

ধাপ ৬: অ-সুষম ক্ষেত্র, আর দ্বিমেরুর যোগ

অ-সুষম ক্ষেত্রে দুই প্রান্তের প্রাবল্য আলাদা, তাই $+q$ আর $-q$ -এর বল আর সমান নয় — টর্কের সাথে একটি নিট বল থাকে। ক্ষেত্রের দিকে সারিবদ্ধ দ্বিমেরু শক্তিশালী ক্ষেত্রের দিকে টান খায়। এ কারণেই ঘষা চিরুনি কাগজের ছোট টুকরো তোলে: চিরুনির ক্ষেত্র কাগজে আবিষ্ট দ্বিমেরু তৈরি করে, আর চিরুনির কাছে ক্ষেত্র বেশি বলে কাগজ চিরুনির দিকে যায়। (পরাবৈদ্যুতিক পদার্থের পোলারায়ন (polarisation) পরের পাঠে।) মূল সিমুলেশনের “অ-সুষম ক্ষেত্র” বোতামে এটি দেখবে।

দ্বিমেরুর যোগ। দ্বিমেরু ভ্রামক ভেক্টর, তাই কয়েকটি দ্বিমেরু থাকলে ভেক্টর যোগ করি। সমবাহু ত্রিভুজের (বাহু $a$ ) তিন শীর্ষে $q$ , $-q$ , $q$ থাকলে $-q$ -কে দুই দ্বিমেরুর ভাগী ধরা যায়: $-q \to$ বাঁয়ের $+q$ আর $-q \to$ ডানের $+q$ , প্রতিটির মান $qa$ , মাঝে 60°:

p = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2 + 2(qa)^2\cos 60°} = 2qa\cos 30° = \sqrt{3}\,qa

শীর্ষকোণ (apex angle) α = 60°

লব্ধি ভ্রামক p = 2qa cos(α/2)1.732 × 10⁻⁸ C m

p / qa1.732

সমবাহু ত্রিভুজ (α = 60°): p = 2qa cos30° = √3 qa = 1.732 × 10⁻⁸ C m। দিক: −q থেকে দুই +q-এর মাঝের দিকে।

নিজে যাচাই করো

1 cm বাহুর সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষে 1 μC, −1 μC, 1 μC। তুল্য দ্বিমেরু ভ্রামক কত?

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

সিমুলেশনে দুটি ট্যাব:

ক্ষেত্র ও বিভব (field): হলুদ বলরেখা (lines of force) আর রঙিন বিভব-মানচিত্র আসল দুই-চার্জের হিসাবে আঁকা। প্রোব টেনে (বা দূরত্ব ও কোণের স্লাইডারে) যেকোনো বিন্দুতে নাও: আসল $E$ ও $V$ , $r \gg l$ সূত্রের মান আর শতকরা ভুল দেখাবে। দূরে গেলে দৃশ্য নিজে ছোট হয়ে যায় — তখন দ্বিমেরুটি একটি বিন্দুর মতো।
দ্বিমেরু ও টর্ক (torque): চার্জ, $2l$ আর $E$ বেছে নাও, দ্বিমেরু টেনে ঘোরাও। “θ₁ চিহ্নিত করো” চেপে শুরুর কোণ রাখো, তারপর ঘোরালে কাজ দেখাবে। “অ-সুষম ক্ষেত্র” চালু করলে পাতের বদলে একটি বিন্দু চার্জ আসে।

চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে মাপগুলো পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) রাখো।

দ্বিমেরুর ক্ষেত্র ও টর্ক

Dipole field, potential & torque

↗

চার্জ (charge) ±qদূরত্ব (separation) 2l

প্রোবের দূরত্ব r = 3.00 mm (3.00 × 2l)কোণ (angle) θ = 0°

প্রাবল্য (field) |E|, আসল (exact)2.817 × 10⁹ N/Cবোর্ড (k = 9 × 10⁹): 2.82 × 10⁹

r ≫ l সূত্রে (kp/r³)√(1 + 3cos²θ)2.663 × 10⁹ N/Cভুল (error): 5.48 %

বিভব (potential) V, আসল4.109 × 10⁶ Vবোর্ড: 4.11 × 10⁶ V

r ≫ l সূত্রে kp cosθ/r²3.994 × 10⁶ Vভুল (error): 2.78 %

p = q·2l = 4.00 × 10⁻⁹ C m। হলুদ রেখা = বলরেখা (lines of force), সাদা রেখা = সমবিভব ধাপ (equipotentials), লাল = V > 0, নীল = V < 0। কমলা তীর প্রোবে E-এর দিক দেখায়।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

“দ্বিমেরু ও টর্ক” ট্যাবে: ±5 μC, 2l = 4 mm, E = 3 × 10⁴ N/C, θ = 90°। টর্ক কত?
±100 μC (10⁻⁴ C), 2l = 2 cm, E = 10⁵ N/C: θ = 0°-এ “θ₁ চিহ্নিত” করো, তারপর 180°-এ ঘোরাও। উল্টাতে কত কাজ?
“ক্ষেত্র ও বিভব” ট্যাবে: যেখানে যেখানে V = 0, এমন অন্তত 3টি বিন্দু খোঁজো (দ্বিমেরুর দুই পাশেই)। (0/3)
অক্ষে একটি আর লম্বদ্বিখণ্ডকে একটি বিন্দু খোঁজো যেখানে E সমান (দুটোই r ≥ 4×2l), দুটিই খাতায় লেখো। r₁ আর r₂-এর সম্পর্ক কী?
অক্ষে প্রোব রেখে r এমন করো যাতে আসন্ন সূত্রের E-ভুল ঠিক 1 %-এর নিচে নামে (0.85–1 %)। r/2l কত?
“অ-সুষম ক্ষেত্র” চালু করো আর দ্বিমেরুকে ক্ষেত্রের দিকে (θ = 0°) রাখো। নিট বল কোন দিকে?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। প্রোব বা দ্বিমেরু সাজিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আর বিভ্রান্তিকর কথা আছে:

পৃ. 108: “হাইড্রোজেন পরমাণুতে একটি ধন প্রোটন এবং একটি ঋণ ইলেকট্রন আছে। অতএব ইহা একটি তড়িৎ দ্বিমেরু” — ভুল। ভূমি অবস্থার H পরমাণুর ইলেকট্রন মেঘ প্রোটনের চারপাশে গোলীয়ভাবে প্রতিসম, দুই চার্জের কেন্দ্র একই বিন্দুতে — স্থায়ী দ্বিমেরু ভ্রামক শূন্য। বাইরের ক্ষেত্রে শুধু আবিষ্ট দ্বিমেরু হয়।
উদাহরণ ২.১০-২(ii) (পৃ. 116): 2 μC, 2 cm দ্বিমেরু 2 × 10⁶ N C⁻¹ সুষম ক্ষেত্রে — বই বলেছে “F = qE = 4 N, তড়িৎ ক্ষেত্র বরাবর”। ভুল: সুষম ক্ষেত্রে $+qE$ আর $-qE$ কেটে যায়, নিট বল শূন্য (বই নিজেই পৃ. 109-এ তা বলেছে); শুধু টর্ক, সর্বোচ্চ $pE = 0.08$ N m। দেওয়া তথ্যে “E = 2 × 10⁻⁶”-ও ছাপার ভুল, হবে 2 × 10⁶।
পৃ. 115, বিশেষ ক্ষেত্র ৫: θ = 180°-এ “ $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 K}\frac{p}{r^2}$ ” — হবে $V = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 K}\frac{p}{r^2}$ ( $\cos 180° = -1$ )। একই পাতার “(∵ V = …p/r²)” লাইনেও $\cos\theta$ বাদ পড়েছে।
পৃ. 114: লম্বদ্বিখণ্ডকের প্রমাণে “ $r \gg l$ হয় তবে $(r^2 - l^2)^{3/2} = r^3$ ” — হবে $(r^2 + l^2)^{3/2}$ (ছাপার ভুল; ওপরের সূত্র ঠিক আছে)।
উদাহরণ ২.৯-৬ (পৃ. 111): প্রশ্নে প্রথম বিন্দু কেন্দ্র থেকে “4 mm”, কিন্তু সমাধানে 4 cm = 0.04 m নেওয়া। “8.256 × 10³”-ও হবে 8.256 × 10⁻³। 4 cm ধরলে উত্তর 2l = 0.042 m ঠিক; 4 mm ধরলে তথ্যগুলো অসম্ভব (l > r হয়ে যায়)।
উদাহরণ ২.১০-৩ (পৃ. 117): ±1 μC, 2l = 5 cm, অক্ষে 15 cm দূরে V = 2 × 10⁴ V — এটি $r \gg l$ সূত্রের মান। এখানে $r/l = 6$ , আসল $kp/(r^2 - l^2)$ = 2.05 × 10⁴ V (3 % বেশি)। বোর্ডে চলে, কিন্তু আসন্ন মান বলে জেনো।
শক্তির রীতি: বইয়ের $W = pE(1 - \cos\alpha)$ সারিবদ্ধ অবস্থান থেকে মাপা; প্রচলিত বিভব শক্তি $U = -pE\cos\theta$ । দুটোতেই উল্টাতে $2pE$ । বোর্ডে বইয়ের রূপ লেখো।
বহুনির্বাচনি 15 (পৃ. 162): অক্ষে $r_1$ আর লম্বদ্বিখণ্ডকে $r_2$ দূরে সমান প্রাবল্য — উত্তরমালায় (গ) “ $r_2^2 = 2r_1^2$ ”। ঠিক উত্তর $r_1^3 = 2r_2^3$ , (ঘ)।
বহুনির্বাচনি 47 (পৃ. 166): দ্বিমেরুর চার্জ হিসেবে ±5 × 10⁻¹⁹ C — ধারণা ঠিক (সমান ও বিপরীত), কিন্তু 5 × 10⁻¹⁹ C = 3.12e, কোনো বাস্তব চার্জ নয় (চার্জ সবসময় e-এর পূর্ণ গুণিতক)। যেমন ±4.8 × 10⁻¹⁹ C (3e) হতে পারত।
তীরের রীতি: পদার্থবিজ্ঞানে $\vec{p}$ − থেকে +; রসায়নের পোলারিটি পাঠে আড়-দাগওয়ালা তীর δ+ থেকে δ−। ভুল নয়, শুধু রীতি আলাদা — দুই বিষয়ে দুটিই দেখবে।

ঘরে বসে পরীক্ষা

যা লাগবে: একটি শুকনো প্লাস্টিকের স্ট্র, একটি পেনসিল (বা বোতলের ছিপি), একটি বেলুন।

পেনসিলটি খাড়া করে (মাটির দলা বা বইয়ের ফাঁকে) রাখো। স্ট্রটি মাঝখানে পেনসিলের ডগায় এমনভাবে বসাও যেন সহজে ঘুরতে পারে।
বেলুন ফুলিয়ে শুকনো চুলে বা উলের কাপড়ে কয়েকবার ঘষো।
বেলুনটি না ছুঁয়ে স্ট্রয়ের এক প্রান্তের কাছে আনো। স্ট্র বেলুনের দিকে ঘুরে আসে। বেলুন ধীরে ধীরে বৃত্তাকারে ঘোরাও — স্ট্র পিছু নেয়।

কেন? স্ট্র নিজে চার্জহীন। বেলুনের ক্ষেত্র স্ট্রয়ের অণুগুলোকে একটু টেনে আবিষ্ট দ্বিমেরু বানায় (কাছের প্রান্তে বিপরীত চার্জ)। বেলুনের ক্ষেত্র অ-সুষম — কাছে বেশি — তাই ধাপ ৬-এর মতো নিট বল কাছের দিকে, আর টর্ক স্ট্রকে ঘুরিয়ে দেয়। শুকনো দিনে ভালো কাজ করে; আর্দ্র দিনে চার্জ দ্রুত চলে যায়।

নিরাপত্তা: এখানে শুধু ঘর্ষণের স্থির তড়িৎ — নিরাপদ। কখনো মেইন লাইন, মশা মারার ব্যাট বা স্টান-যন্ত্র দিয়ে এ পরীক্ষা কোরো না, আর কোনো যন্ত্র (ফ্যান, মাইক্রোওয়েভ, টিভি) খুলবে না — প্লাগ খোলার পরও এদের ধারকে বিপজ্জনক চার্জ থাকতে পারে।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. তড়িৎ দ্বিমেরু ও দ্বিমেরু ভ্রামকের সংজ্ঞা দাও। দ্বিমেরু ভ্রামকের একক ও দিক কী? সুষম ক্ষেত্রে দ্বিমেরুর ওপর টর্কের রাশিমালা প্রতিপাদন করো।

উত্তর দেখো

সমান ও বিপরীত দুটি চার্জ $+q$ ও $-q$ ক্ষুদ্র দূরত্ব $2l$ -এ থাকলে তাকে তড়িৎ দ্বিমেরু বলে। যেকোনো একটি চার্জের মান ও দূরত্বের গুণফল দ্বিমেরু ভ্রামক: $p = q \times 2l$ । একক C m; দিক অক্ষ বরাবর $-q$ থেকে $+q$ -এর দিকে।

টর্ক: $\vec{p}$ , $\vec{E}$ -এর সাথে $\theta$ কোণে। $+q$ -এ বল $qE$ ক্ষেত্রের দিকে, $-q$ -এ $qE$ বিপরীতে — নিট বল শূন্য। বল দুটির ক্রিয়ারেখার লম্ব দূরত্ব $2l\sin\theta$ , তাই

\tau = qE \times 2l\sin\theta = pE\sin\theta, \qquad \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}

$\theta = 90°$ -এ সর্বোচ্চ $pE$ , $0°$ ও $180°$ -এ শূন্য।

২. ±4 μC চার্জ দুটি 1 mm দূরে। দ্বিমেরুর কেন্দ্র থেকে অক্ষ বরাবর 10 cm দূরে প্রাবল্য কত?

উত্তর দেখো

$p = 4 \times 10^{-6} \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-9}$ C m। $r = 0.1$ m $\gg l = 0.5$ mm, তাই

E = \frac{2kp}{r^3} = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-9}}{(0.1)^3} = 7.2 \times 10^4\ \text{N C}^{-1}

দিক $\vec{p}$ -এর দিকে। (আসল $k = 8.988 \times 10^9$ আর আসল সূত্রে $7.19 \times 10^4$ N C⁻¹।)

৩. ±10 μC চার্জ 2 mm দূরে। লম্বদ্বিখণ্ডকে কেন্দ্র থেকে 10 cm দূরে প্রাবল্যের মান ও দিক নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

$p = 10^{-5} \times 2 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-8}$ C m।

E = \frac{kp}{(r^2 + l^2)^{3/2}} \approx \frac{kp}{r^3} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-8}}{10^{-3}} = 1.8 \times 10^5\ \text{N C}^{-1}

দিক $\vec{p}$ -এর বিপরীতে (অক্ষের সমান্তরালে, + থেকে − প্রান্তের দিকে)। আসল $k$ -এ $1.797 \times 10^5$ N C⁻¹।

৪. একটি দ্বিমেরুর দুই প্রান্তে ±2 μC, দূরত্ব 2 cm; একে 2 × 10⁶ N C⁻¹ সুষম ক্ষেত্রে রাখা হলো। (ক) সর্বোচ্চ টর্ক কত? (খ) দ্বিমেরুর ওপর নিট বল কত? (গ) ক্ষেত্রের দিক থেকে 60° ঘোরাতে কত কাজ লাগবে?

উত্তর দেখো

$p = 2 \times 10^{-6} \times 0.02 = 4 \times 10^{-8}$ C m, $pE = 0.08$ N m।

(ক) $\tau_{\max} = pE = 0.08$ N m (θ = 90°-এ)।

(খ) সুষম ক্ষেত্রে $+q$ ও $-q$ -এর বল সমান ও বিপরীত: নিট বল শূন্য। (বইয়ের উত্তর “4 N” ভুল — 4 N হলো একটি চার্জের বল।)

(গ) $W = pE(1 - \cos 60°) = 0.08 \times 0.5 = 0.04$ J।

৫. (MCQ) দ্বিমেরুর অক্ষে $r_1$ দূরে আর লম্বদ্বিখণ্ডকে $r_2$ দূরে প্রাবল্যের মান সমান হলে ( $r \gg l$ ) — (ক) $r_1 = r_2$ (খ) $r_1^2 = 2r_2^2$ (গ) $r_2^2 = 2r_1^2$ (ঘ) $r_1^3 = 2r_2^3$

উত্তর দেখো

(ঘ)। $\dfrac{2kp}{r_1^3} = \dfrac{kp}{r_2^3} \Rightarrow r_1^3 = 2r_2^3$ । প্রাবল্য $1/r^3$ হারে কমে, তাই বর্গ নয়, ঘন।

৬. (সৃজনশীল) ±1 μC চার্জের একটি দ্বিমেরুর দৈর্ঘ্য 5 cm। আরেকটি ব্যবস্থায় 1 cm বাহুর সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষে 1 μC, −1 μC ও 1 μC চার্জ। (গ) দ্বিমেরুর অক্ষে কেন্দ্র থেকে 15 cm দূরে বিভব নির্ণয় করো। (ঘ) “(গ)-এর উত্তরে $r \gg l$ সূত্র ব্যবহার যথেষ্ট নির্ভুল, আর ত্রিভুজের তুল্য দ্বিমেরু ভ্রামক 2qa” — উক্তিটি যাচাই করো।

উত্তর দেখো

(গ) $p = 10^{-6} \times 0.05 = 5 \times 10^{-8}$ C m।

V \approx \frac{kp}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-8}}{(0.15)^2} = 2 \times 10^4\ \text{V}

(ঘ) আসল মান $V = \dfrac{kp}{r^2 - l^2} = \dfrac{450}{0.0225 - 0.000625} = 2.06 \times 10^4$ V (আসল $k$ -এ $2.05 \times 10^4$ V) — আসন্ন মান প্রায় 3 % কম। এখানে $r/2l = 3$ মাত্র, তাই আসন্ন সূত্র মোটামুটি চলে কিন্তু “যথেষ্ট নির্ভুল” নয়; 1 %-এর মধ্যে চাইলে $r \gtrsim 7 \times 2l$ লাগে।

ত্রিভুজ: দুটি দ্বিমেরু ( $-q \to$ প্রতিটি $+q$ ), প্রতিটি $qa = 10^{-8}$ C m, মাঝে 60°:

p = 2qa\cos 30° = \sqrt{3}\,qa = 1.73 \times 10^{-8}\ \text{C m}

2qa ( $2 \times 10^{-8}$ ) হতো যদি দুটি ভ্রামক একই দিকে থাকত — ভেক্টর যোগে তা হয় না। তাই উক্তির দুই অংশই সঠিক নয়।