পাঠ ৪ / ১২অনুচ্ছেদ ২.২.১২, ২.৩–২.৩.১

বিভবের ঢাল ও সমবিভব তলPotential gradient & equipotential surfaces

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ২ — তড়িৎ ক্ষেত্র, প্রাবল্য ও বলরেখা, পাঠ ৩ — তড়িৎ বিভব, বিভব শক্তি ও ইলেকট্রন ভোল্ট

নিচে একটি পাহাড়ের মানচিত্র। সাদা রেখাগুলো কনট্যুর রেখা (contour line) — একই রেখার সব বিন্দুর উচ্চতা সমান। কোথাও টোকা দিয়ে একটি বল ছেড়ে দাও; তারপর ওপরের বোতামে পাহাড়টিকে একটি ধনাত্মক চার্জের তড়িৎ বিভব (electric potential)-এ বদলে দাও, আর বলের জায়গায় ছাড়ো একটি পরখ চার্জ (test charge):

কনট্যুর: প্রতি 25 m উচ্চতায়নামার দিক (downhill)এই বিন্দুর রেখা

গতি (speed)—

পথ ও রেখার কোণ (angle)—

মানচিত্রের যেকোনো ঢালু জায়গায় টোকা দাও — সেখানে একটি বল ছেড়ে দেওয়া হবে।

কাল্পনিক মান (illustrative): গতি ঢালের সমানুপাতিক ধরা হয়েছে, যেন বলটি ঘন মধুর ভেতর দিয়ে নামছে।

বলটা সবসময় রেখাগুলোর সমকোণে নামে কেন? আর রেখা যেখানে ঘন, সেখানে এত জোরে ছোটে কেন? এই পাঠের উত্তর: তড়িৎ ক্ষেত্র হলো বিভবের ঢাল (potential gradient), আর সমান বিভবের রেখা বা তলের সাথে ক্ষেত্র সবসময় লম্ব।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

বিভবের ঢাল — $E = -\dfrac{dV}{dr}$ , সুষম ক্ষেত্রে $E = V/d$
ত্রিমাত্রিক রূপ — $\vec{E} = -\nabla V$ (গ্রেডিয়েন্ট, gradient)
উল্টো পথে — $E$ থেকে বিভব পার্থক্য (potential difference)
$E = 0$ মানে $V = 0$ নয়, আর $V = 0$ মানে $E = 0$ নয়
সমবিভব তল (equipotential surface) — আকৃতি আর ফাঁক
সমবিভব তলের বৈশিষ্ট্য — কাজ শূন্য, $\vec{E}$ লম্ব, কখনো ছেদ করে না
পাহাড়ের মানচিত্রের সাথে তুলনা
এবার নিজে করে দেখো — সমবিভব রেখা খোঁজার ল্যাব (equipotential mapper)

ধাপ ১: বিভবের ঢাল

আগের দুই পাঠ মনে করো। তড়িৎ প্রাবল্য (electric field intensity) $\vec{E}$ : একক ধনাত্মক চার্জের ওপর বল, একক N C⁻¹। তড়িৎ বিভব $V$ : অসীম থেকে একক ধনাত্মক চার্জ আনতে কাজ, একক V (= J C⁻¹)। প্রথমটি ভেক্টর, দ্বিতীয়টি স্কেলার। এদের সম্পর্ক কী?

একটি একক ধনাত্মক চার্জকে ক্ষেত্রের বিপরীতে খুব ছোট দূরত্ব $dr$ সরাও। বাইরের কাজ $= -E\,dr$ , আর এই কাজই বিভবের বৃদ্ধি $dV$ । তাই

dV = -E\,dr \quad\Rightarrow\quad E = -\frac{dV}{dr}

দূরত্বের সাথে বিভবের পরিবর্তনের হারকে বিভবের ঢাল (potential gradient) বলে। তড়িৎ প্রাবল্য হলো বিভবের ঢালের ঋণাত্মক মান:

মান: ঢাল যত খাড়া (অল্প দূরত্বে বিভব বেশি বদলায়), $E$ তত বড়।
দিক: ঋণ চিহ্ন বলে, $\vec{E}$ সবসময় বিভব কমার দিকে — বেশি বিভব থেকে কম বিভবে, যেমন পানি উঁচু থেকে নিচে নামে।
সমতল $V$ : কোনো অঞ্চলে $V$ না বদলালে সেখানে $E = 0$ — $V$ যত বড়ই হোক।

নিচের ওপরের লেখচিত্রে $V(x)$ -এর বিন্দুগুলো টেনে ওঠাও-নামাও; নিচে $E = -dV/dx$ সাথে সাথে বদলায়:

সবচেয়ে খাড়া অংশ 4–6 cm: সেখানে |E| = 150 V/m সবচেয়ে বড়।

প্রতিটি টুকরো সরলরেখা, তাই প্রতিটি অংশে E ধ্রুবক: E = −ΔV/Δx। ΔV ভোল্টে, Δx মিটারে (2 cm = 0.02 m)।

সুষম ক্ষেত্র (uniform field): দুটি সমান্তরাল পাতের বিভব পার্থক্য $V$ , দূরত্ব $d$ হলে মাঝখানে ঢাল সব জায়গায় সমান, তাই

E = \frac{V}{d}

এ থেকে $E$ -এর দ্বিতীয় একক পাওয়া যায়: V m⁻¹। দুটি একক একই — $\dfrac{\text{V}}{\text{m}} = \dfrac{\text{J}}{\text{C m}} = \dfrac{\text{N m}}{\text{C m}} = \dfrac{\text{N}}{\text{C}}$ । উদাহরণ: 50 cm দূরের দুটি পাতের বিভব পার্থক্য 200 V হলে $E = 200/0.5 = 400$ V m⁻¹।

নিজে যাচাই করো

দুটি সমান্তরাল পাতের মধ্যে 1 cm দূরত্বে বিভব পার্থক্য 10 V। পাতের মাঝে প্রাবল্য কত?

ধাপ ২: ত্রিমাত্রিক রূপ — $\vec{E} = -\nabla V$

বিভব সাধারণত $x, y, z$ তিনটিরই অপেক্ষক। তখন প্রতিটি অক্ষ বরাবর আলাদা ঢাল নিতে হয় — আংশিক অন্তরজ (partial derivative)। ভেক্টর অধ্যায়ের স্কেলার ক্ষেত্র ও গ্রেডিয়েন্ট পাঠের $\nabla$ (ডেল, del) অপারেটর এখানে সরাসরি কাজে লাগে:

\vec{E} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\,\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\,\hat{k}\right)

$\nabla V$ বিভব সবচেয়ে দ্রুত বাড়ার দিকে; $\vec{E}$ ঠিক উল্টো দিকে, অর্থাৎ বিভব সবচেয়ে দ্রুত কমার দিকে। শুরুর বলটি এই পথেই নেমেছিল।

উদাহরণ (বইয়ের অনুশীলনী): $V = -5x + 3y + \sqrt{15}\,z$ (ভোল্টে, দূরত্ব মিটারে) হলে

E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = 5, \quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -3, \quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -\sqrt{15}

|\vec{E}| = \sqrt{25 + 9 + 15} = \sqrt{49} = 7 \text{ V m}^{-1}

এখানে $V$ রৈখিক, তাই সব বিন্দুতে $\vec{E}$ একই — সুষম ক্ষেত্র।

নিজে যাচাই করো

V = 3x + 2y² (ভোল্টে, x, y মিটারে) হলে (3, 1) বিন্দুতে প্রাবল্যের মান কত?

ধাপ ৩: উল্টো পথে — $E$ থেকে বিভব পার্থক্য

$dV = -E\,dr$ -কে দুই বিন্দুর মধ্যে যোগ (সমাকলন, integration) করলে

V_A - V_B = \int_A^B E\,dr

অর্থাৎ $E$ – $r$ লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফলই বিভব পার্থক্য। সুষম ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্র: $\Delta V = E\,d$ । ক্ষেত্রের দিক বরাবর গেলে বিভব কমে।

উদাহরণ (বইয়ের অনুশীলনী): x-অক্ষ বরাবর $E = \dfrac{5}{x^3}$ । $x = 1$ বিন্দু P আর $x = 2$ বিন্দু Q-এর বিভব পার্থক্য:

V_P - V_Q = \int_1^2 \frac{5}{x^3}\,dx = \left[-\frac{5}{2x^2}\right]_1^2 = -\frac{5}{8} + \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1.875

নিজে যাচাই করো

5 N/C মানের সুষম ক্ষেত্রে ক্ষেত্রের দিকে 10 cm দূরের দুই বিন্দুর বিভব পার্থক্য কত?

ধাপ ৪: $E = 0$ মানে $V = 0$ নয়

$E$ নির্ভর করে বিভবের ঢালের ওপর, বিভবের মানের ওপর নয়। তাই দুটি ভুল ধারণা থেকে সাবধান:

$E = 0$ কিন্তু $V \neq 0$ : আহিত পরিবাহী গোলকের (charged conducting sphere) ভেতরে সব বিন্দুতে $V = kQ/R$ — ধ্রুবক, শূন্য নয়। ঢাল শূন্য, তাই $E = 0$ ।
$V = 0$ কিন্তু $E \neq 0$ : সমান ও বিপরীত দুটি চার্জের (তড়িৎ দ্বিমেরু, electric dipole) মাঝের লম্বসমদ্বিখণ্ডক রেখায় দুই চার্জের বিভব কাটাকাটি হয়ে $V = 0$ । কিন্তু দুই চার্জের প্রাবল্য একই দিকে (+ থেকে − এর দিকে) যোগ হয়, তাই $E \neq 0$ ।

পাহাড়ের ভাষায়: চূড়ার সমতল মাথা অনেক উঁচু, কিন্তু সেখানে ঢাল নেই। আবার সমুদ্রতলের উচ্চতায় (শূন্য) দাঁড়িয়েও খাড়া ঢালে থাকা যায়।

নিজে যাচাই করো

কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভব শূন্য। সেখানে প্রাবল্য সম্পর্কে কোনটি ঠিক?

ধাপ ৫: সমবিভব তল

যে তলের প্রতিটি বিন্দুর বিভব সমান, তাকে সমবিভব তল (equipotential surface) বলে। কাগজে বা পর্দায় তার ছেদকে আমরা সমবিভব রেখা হিসেবে আঁকি।

বিন্দু চার্জ (point charge): $V = kq/r$ শুধু $r$ -এর ওপর নির্ভর করে, তাই সমবিভব তলগুলো চার্জকে কেন্দ্র করে সমকেন্দ্রিক গোলক।
সুষম ক্ষেত্র: সমবিভব তলগুলো ক্ষেত্রের লম্ব সমান্তরাল সমতল, সমান $\Delta V$ -এর জন্য সমান ফাঁকে ( $\Delta r = \Delta V/E$ )।
ফাঁক বাড়ে: বিন্দু চার্জের ক্ষেত্রে সমান $\Delta V$ ধাপে আঁকলে গোলকগুলোর ফাঁক দূরে গেলে বাড়ে, কারণ $E = kq/r^2$ দূরে কমে যায়: $\Delta r \approx \Delta V/E$ । যেমন 1 nC চার্জের 300 V, 200 V, 100 V তলের ব্যাসার্ধ 3.0 cm, 4.5 cm, 9.0 cm।

নিচে চার্জ বেছে নাও, $\Delta V$ ধাপ বদলাও, আর যেকোনো বিন্দুতে টোকা দাও:

ΔV ধাপ (step) 200 V

সমবিভব রেখা (equipotential)বলরেখা (field line)

এই বিন্দুর বিভব V—

প্রাবল্য |E|—

E ও সমবিভবের কোণ—

যেকোনো জায়গায় টোকা দাও। তারপর ΔV ধাপ বদলে দেখো: চার্জ থেকে দূরে গেলে সমান ΔV-এর রেখাগুলো ফাঁকা হয়ে যায়।

প্রতিটি চার্জ 1 nC; k = 8.9875 × 10⁹ N m² C⁻²। 3D-তে প্রতিটি রেখা আসলে একটি তল (surface)।

নিজে যাচাই করো

একটি বিচ্ছিন্ন বিন্দু চার্জের সমবিভব তলের আকৃতি কেমন?

ধাপ ৬: সমবিভব তলের বৈশিষ্ট্য

১. তল বরাবর চার্জ সরাতে কোনো কাজ লাগে না। $q$ চার্জকে A থেকে B-তে নিতে কাজ $W = q(V_B - V_A)$ । একই তলে $V_A = V_B$ , তাই $W = 0$ ।

২. প্রাবল্য সবসময় সমবিভব তলের লম্ব। তল বরাবর ছোট সরণ $d\vec{l}$ নিলে

dV = -\vec{E}\cdot d\vec{l} = -E\,dl\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = 0 \;\Rightarrow\; \theta = 90^\circ

$\vec{E}$ -এর তল বরাবর কোনো উপাংশ থাকলে ওই দিকে সরালে কাজ লাগত — বৈশিষ্ট্য ১-এর সাথে বিরোধ। তাই বলরেখা সমবিভব তলকে সমকোণে কাটে। শুরুর বলটি এজন্যই রেখাগুলোর সমকোণে নেমেছিল।

৩. দুটি সমবিভব তল কখনো ছেদ করে না। ছেদবিন্দুতে বিভবের দুটি ভিন্ন মান হতো — অসম্ভব। (তা ছাড়া ছেদবিন্দুতে দুই তলের দুটি ভিন্ন লম্ব দিক, অর্থাৎ $\vec{E}$ -এর দুটি দিক হতো।)

৪. স্থির অবস্থায় পরিবাহীর পৃষ্ঠ একটি সমবিভব তল। পৃষ্ঠের দুই বিন্দুর বিভব ভিন্ন হলে মুক্ত ইলেকট্রন পৃষ্ঠ বরাবর সরে যেত; চার্জ যখন স্থির, তখন পৃষ্ঠ বরাবর $E = 0$ , অর্থাৎ পুরো পৃষ্ঠ সমবিভব। (পরের পাঠে বিস্তারিত।)

৫. যেখানে তলগুলো ঘন, সেখানে ক্ষেত্র প্রবল। সমান $\Delta V$ ধাপে আঁকা তলের ফাঁক $\Delta r$ হলে $E \approx \Delta V/\Delta r$ ।

নিজে যাচাই করো

50 V-এর একটি সমবিভব তল বরাবর 2 μC চার্জকে 30 cm সরাতে কত কাজ লাগবে?

ধাপ ৭: পাহাড়ের মানচিত্রের সাথে তুলনা

ভূমির টপোগ্রাফিক মানচিত্র (topographic map)-এ সমান উচ্চতার রেখা আঁকা থাকে। অভিকর্ষ ক্ষেত্রে স্থিতিশক্তি $mgh$ , তড়িৎ ক্ষেত্রে $qV$ — তাই তুলনাটি প্রায় হুবহু খাটে:

পাহাড়ের মানচিত্র	তড়িৎ ক্ষেত্র
উচ্চতা $h$	বিভব $V$
কনট্যুর রেখা (সমান উচ্চতা)	সমবিভব রেখা/তল
সবচেয়ে খাড়া নামার পথ, কনট্যুরের লম্ব	বলরেখা ( $\vec{E}$ ), সমবিভবের লম্ব
রেখা ঘন = খাড়া ঢাল	রেখা ঘন = প্রবল ক্ষেত্র
কনট্যুর বরাবর হাঁটলে ওঠা-নামা নেই	সমবিভব বরাবর সরালে কাজ শূন্য
গোল ঘুরে একই জায়গায় ফিরলে মোট ওঠা = মোট নামা	বদ্ধপথে তড়িৎ ক্ষেত্রের মোট কাজ শূন্য

একটি পার্থক্য মনে রাখো: পাহাড়ে বল সবসময় নিচে নামে, কিন্তু ঋণাত্মক চার্জ বিভবের ঢাল বেয়ে ওপরে ওঠে (কম থেকে বেশি বিভবের দিকে), কারণ তার ওপর বল $\vec{E}$ -এর বিপরীতে।

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

পরীক্ষাগারে সমবিভব রেখা আঁকার পুরোনো পদ্ধতি: পরিবাহী কাগজের (conductive paper) ওপর দুটি ইলেকট্রোড, তাদের মধ্যে একটি ব্যাটারি, আর একটি ভোল্টমিটারের প্রোব দিয়ে সমান ভোল্টের বিন্দু খোঁজা। নিচের ভার্চুয়াল ট্রেতে:

ওপরে ইলেকট্রোড বিন্যাস বেছে নাও: পাত–পাত, বিন্দু–বিন্দু, বিন্দু–পাত, বা বলয়–বিন্দু। স্লাইডারে ব্যাটারি 0–12 V।
কাগজের ওপর টেনে প্রোব সরাও। ভোল্টমিটার বিভব দেখায়, সাদা তীর $\vec{E}$ -এর দিক।
2, 4, 6 … V-এর বিন্দু পেলে পিন বসাও; পিনগুলো জুড়লে তোমার আঁকা সমবিভব রেখা। তারপর আসল রেখা দেখাও চেপে মিলিয়ে নাও — হলুদ সমবিভব আর কমলা বলরেখা।
ড্রিল দুটি আর চক্র (loop) চ্যালেঞ্জ শেষ করো; পিনের মাপ পর্যবেক্ষণ খাতায় জমা থাকে।

সমবিভব রেখা খোঁজার ল্যাব

Equipotential mapper (conductive paper)

↗

ব্যাটারি (battery) 12.0 V

ভোল্টমিটার (V)—

প্রাবল্য |E|—

প্রোব (x, y)12.0, 6.0 cm

প্রোব টেনে 2, 4, 6, 8, 10 V-এর বিন্দু খোঁজো (এখন সবচেয়ে কাছের লক্ষ্য 2 V)। সাদা তীর E-এর দিক — কম বিভবের দিকে।

ড্রিল ১: E = V/d

সুষম ক্ষেত্রে 50 cm দূরের দুই সমবিভব তলের বিভব পার্থক্য 200 V। E কত V/m?

E (V/m)

ড্রিল ২: E = −∇V

V = x² + 2y² − 4z (ভোল্টে, x, y, z মিটারে)। (1, 1, 0) বিন্দুতে E-এর উপাংশ কত?

Ex (V/m)Ey (V/m)Ez (V/m)

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

পাত–পাত, 12 V: 6 V-এর সমবিভব রেখা খোঁজো — 6 V-এর কাছাকাছি (±0.15 V) অন্তত 3টি পিন বসাও, ওপর-নিচে 6 cm জুড়ে। (0/3 পিন)
পাত–পাত: একই উচ্চতায় (একটির ডানে আরেকটি, ≥ 2 cm দূরে) দুটি পিন বসাও; E = ΔV/Δx হিসাব V/d-এর সাথে মেলাও।
বিন্দু ইলেকট্রোডের কোনো বিন্যাসে প্রোব ঘুরিয়ে খোঁজো |E| কোথায় সবচেয়ে বেশি।
নিচের ড্রিল ১: সুষম ক্ষেত্রে 50 cm দূরত্বে 200 V বিভব পার্থক্য হলে E কত?
ড্রিল ২: V = x² + 2y² − 4z হলে (1, 1, 0) বিন্দুতে E-এর উপাংশ বের করো।
“চক্র শুরু” চেপে প্রোবটি ঘুরিয়ে (≥ 8 cm পথ) আবার শুরুর বিন্দুতে ফিরিয়ে আনো। ক্ষেত্রের মোট কাজ কত?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কোনো পিন নেই — প্রোব রেখে “পিন বসাও” চাপো।

মডেল: সুষম পরিবাহী কাগজ, কিনারা অন্তরক (insulating edge)। ল্যাপলাসের সমীকরণ (Laplace’s equation) ∇²V = 0 একটি 121 × 81 গ্রিডে SOR পদ্ধতিতে সমাধান করা; E = −∇V। আসল কাগজে কালি অসমান হলে রেখা একটু বাঁকা হয়।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আছে:

সারসংক্ষেপ, তথ্য 7 (পৃ. 160): “তড়িৎ বিভব ও তড়িৎ প্রাবল্য পরস্পর সমানুপাতিক” — ভুল। $E = -dV/dr$ : প্রাবল্য বিভবের ঢালের ওপর নির্ভর করে, মানের ওপর নয়। আহিত গোলকের ভেতরে $E = 0$ অথচ $V \neq 0$ ; দ্বিমেরুর লম্বরেখায় $V = 0$ অথচ $E \neq 0$ (ধাপ ৪)।
বিভবের ঢালের সংজ্ঞা (পৃ. 102): “প্রাবল্য … দূরত্ব সাপেক্ষে বিভবের পরিবর্তনের হারের সমান” — হবে ঋণাত্মক মানের সমান, $E = -dV/dr$ । ঋণ চিহ্নটিই বলে $\vec{E}$ বিভব কমার দিকে।
সূত্রের তালিকা (পৃ. 144): “ $E = v/r$ ” ছাপা — হবে $E = V/r$ (সুষম ক্ষেত্রে $E = V/d$ )।
প্রশ্নব্যাংক MCQ 97: “ $V = 3x + 2x^2$ ” ছাপা, অথচ উত্তর (গ) 5 V m⁻¹। এই উত্তর মেলে $V = 3x + 2y^2$ হলে ( $|\vec{E}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ )। যেমন ছাপা আছে ( $2x^2$ ), তাতে উত্তর হতো 15 V m⁻¹।

ঘরে বসে পরীক্ষা: কাগজে সমবিভব রেখা

তোমার লাগবে: একটি 9 V ব্যাটারি, একটি সস্তা মাল্টিমিটার (DC V সেটিং), একটি নরম পেন্সিল (4B–6B), সাদা কাগজ, দুটি পয়সা বা অ্যালুমিনিয়াম ফয়েলের টুকরো, কয়েকটি ক্লিপ বা টেপ আর দুটি তার। (বিকল্প: প্লাস্টিকের ট্রেতে লবণপানি।)

কাগজে প্রায় 10 cm × 7 cm একটি আয়তক্ষেত্র পেন্সিল দিয়ে খুব ঘন করে ছায়া দাও — গ্রাফাইটের স্তরটাই তোমার পরিবাহী কাগজ।
ছায়ার দুই প্রান্তে দুটি ফয়েলের ফালি (পাত–পাত) বা দুটি পয়সা (বিন্দু–বিন্দু) চেপে বসাও, তার দিয়ে ব্যাটারির দুই প্রান্তে জোড়ো।
মাল্টিমিটারের কালো তার ব্যাটারির − প্রান্তে রাখো, লাল তার দিয়ে ছায়ার ওপর আলতো করে ছুঁয়ে বিভব মাপো।
একই মান (যেমন 3 V) পাওয়া 5–6টি বিন্দুতে ফোঁটা দাও, জুড়ে রেখা আঁকো। অন্য মানের জন্য আবার করো।
রেখাগুলোর লম্ব বরাবর ছোট তীর আঁকো (বেশি থেকে কম বিভবের দিকে) — এগুলো বলরেখা। পয়সার কাছে রেখা ঘন কিনা দেখো।

নিরাপত্তা: শুধু 9 V বা AA ব্যাটারি — কখনো বিদ্যুতের লাইন (mains) বা ফোনের চার্জার নয়, মশা মারার ব্যাট বা কোনো যন্ত্র খুলে ব্যবহার কোরো না। কাজ শেষে ব্যাটারি খুলে রাখো (নইলে ফুরিয়ে যায়, গরমও হতে পারে)। লবণপানি ব্যবহার করলে ধাতব জিনিসে মরিচা ধরে — পরে ধুয়ে শুকিয়ে নাও।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. বিভবের ঢাল কাকে বলে? দেখাও যে $E = -\dfrac{dV}{dr}$ , এবং V m⁻¹ ও N C⁻¹ একই একক।

উত্তর দেখো

দূরত্বের সাপেক্ষে বিভবের পরিবর্তনের হারকে বিভবের ঢাল বলে। একক ধনাত্মক চার্জকে $\vec{E}$ -এর বিপরীতে $dr$ সরাতে বাইরের কাজ $-E\,dr$ , যা বিভবের বৃদ্ধি $dV$ ; তাই $dV = -E\,dr$ , অর্থাৎ $E = -\dfrac{dV}{dr}$ । ঋণ চিহ্ন: $\vec{E}$ বিভব কমার দিকে।

একক: $\text{V m}^{-1} = \text{J C}^{-1}\,\text{m}^{-1} = \text{N m C}^{-1}\,\text{m}^{-1} = \text{N C}^{-1}$ ।

২. একটি সুষম তড়িৎ ক্ষেত্রে 50 cm দূরত্বের দুটি সমবিভব তলের বিভব পার্থক্য 200 V। (ক) প্রাবল্য কত? (খ) $3\ \mu\text{C}$ চার্জকে বেশি বিভবের তল থেকে কম বিভবের তলে নিতে ক্ষেত্র কত কাজ করে?

উত্তর দেখো

(ক) $E = \dfrac{V}{d} = \dfrac{200}{0.5} = 400$ V m⁻¹ (= 400 N C⁻¹)।

(খ) $W = q(V_A - V_B) = 3 \times 10^{-6} \times 200 = 6 \times 10^{-4}$ J। ক্ষেত্রের দিকে সরছে, তাই ক্ষেত্রের কাজ ধনাত্মক।

৩. কোনো অঞ্চলে $V = -5x + 3y + \sqrt{15}\,z$ (ভোল্টে, মিটারে)। (ক) $\vec{E}$ নির্ণয় করো। (খ) প্রাবল্যের মান কত, আর এটি কি সব বিন্দুতে একই?

উত্তর দেখো

(ক) $\vec{E} = -\nabla V = 5\hat{i} - 3\hat{j} - \sqrt{15}\,\hat{k}$ V m⁻¹।

(খ) $|\vec{E}| = \sqrt{25 + 9 + 15} = 7$ V m⁻¹। $V$ রৈখিক বলে আংশিক অন্তরজগুলো ধ্রুবক — তাই সব বিন্দুতে একই (সুষম ক্ষেত্র)।

৪. x-অক্ষ বরাবর প্রাবল্য $E = \dfrac{5}{x^3}$ (SI)। $x = 1$ m বিন্দু P ও $x = 2$ m বিন্দু Q-এর বিভব পার্থক্য $V_P - V_Q$ নির্ণয় করো। কোন বিন্দুর বিভব বেশি?

উত্তর দেখো

V_P - V_Q = \int_1^2 \frac{5}{x^3}\,dx = \left[-\frac{5}{2x^2}\right]_1^2 = \frac{5}{2} - \frac{5}{8} = \frac{15}{8} = 1.875 \text{ V}

ধনাত্মক, তাই P-এর বিভব বেশি — $\vec{E}$ (+x দিকে) P থেকে Q-এর দিকে, বিভব কমার দিকে।

৫. (সৃজনশীল) 0.12 m ব্যাসার্ধের একটি পরিবাহী গোলকে 33.3 nC চার্জ আছে। গোলকের কেন্দ্র থেকে 0.06 m দূরে বিন্দু A। (গ) A বিন্দুতে বিভব ও প্রাবল্য নির্ণয় করো। (ঘ) “তড়িৎ বিভব ও প্রাবল্য পরস্পর সমানুপাতিক” — উক্তিটি A বিন্দুর ফলাফল দিয়ে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর দেখো

(গ) A গোলকের ভেতরে। পরিবাহীর ভেতরে বিভব পৃষ্ঠের সমান:

V_A = \frac{kQ}{R} = \frac{8.9875 \times 10^9 \times 33.3 \times 10^{-9}}{0.12} = 2494.1 \text{ V}

(বোর্ডের মান, $k = 9 \times 10^9$ : 2497.5 V।) ভেতরে বিভব ধ্রুবক, ঢাল শূন্য, তাই $E_A = -\dfrac{dV}{dr} = 0$ ।

(ঘ) উক্তিটি ভুল। A বিন্দুতে $V = 2494.1$ V অথচ $E = 0$ — সমানুপাতিক হলে $E$ -ও শূন্য-নয় হতো। $E$ নির্ভর করে বিভবের পরিবর্তনের হারের ওপর ( $E = -dV/dr$ ), বিভবের মানের ওপর নয়। উল্টো উদাহরণও আছে: দ্বিমেরুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকে $V = 0$ কিন্তু $E \neq 0$ ।

৬. (MCQ) নিচের প্রতিটির উত্তর দাও: (i) সমবিভব তল ও বলরেখার মধ্যবর্তী কোণ — (ক) 0° (খ) 45° (গ) 90° (ঘ) 180° (ii) $V = 3x + 2y^2$ হলে (3, 1) বিন্দুতে প্রাবল্যের মান — (ক) 3 (খ) 4 (গ) 5 (ঘ) 15 V m⁻¹ (iii) সুষম ক্ষেত্রে দূরত্ব $d$ -এর সাথে বিভব পার্থক্যের লেখচিত্র — (ক) মূলবিন্দুগামী সরলরেখা (খ) পরাবৃত্ত (গ) অধিবৃত্ত (ঘ) x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

উত্তর দেখো

(i) (গ) 90° — $\vec{E}$ সবসময় সমবিভব তলের লম্ব।

(ii) (গ) 5 V m⁻¹ — $\vec{E} = -(3\hat{i} + 4y\hat{j})$ , $(3, 1)$ -এ $|\vec{E}| = \sqrt{9 + 16} = 5$ ।

(iii) (ক) মূলবিন্দুগামী সরলরেখা — $\Delta V = E d$ , $E$ ধ্রুবক, তাই $\Delta V \propto d$ ।

বিভবের ঢাল ও সমবিভব তলPotential gradient & equipotential surfaces

ধাপ ১: বিভবের ঢাল

ধাপ ২: ত্রিমাত্রিক রূপ — E⃗=−∇V\vec{E} = -\nabla VE=−∇V

ধাপ ৩: উল্টো পথে — EEE থেকে বিভব পার্থক্য

ধাপ ৪: E=0E = 0E=0 মানে V=0V = 0V=0 নয়

ধাপ ৫: সমবিভব তল

ধাপ ৬: সমবিভব তলের বৈশিষ্ট্য

ধাপ ৭: পাহাড়ের মানচিত্রের সাথে তুলনা

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

ড্রিল ১: E = V/d

ড্রিল ২: E = −∇V

চ্যালেঞ্জ (challenges)

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

ঘরে বসে পরীক্ষা: কাগজে সমবিভব রেখা

পরীক্ষার প্রস্তুতি

ধাপ ২: ত্রিমাত্রিক রূপ — $\vec{E} = -\nabla V$

ধাপ ৩: উল্টো পথে — $E$ থেকে বিভব পার্থক্য

ধাপ ৪: $E = 0$ মানে $V = 0$ নয়